Съдържание

ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. X.4 · Сквозь кольца Сатурна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2013

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2013 г. Теоретический тур и практический тур, 9, 10, 11 класс

Шапка листов с условиями

Министерство образования и науки Российской Федерации
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Орел, 2013 г.

Обложка сборника условий и решений

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2013 г.

Выходные данные сборника

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2013 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 40 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Два космических корабля прошли точку перисатурния над полюсом Сатурна на расстоянии его экваториального радиуса от центра планеты. После этого первый корабль пролетел сквозь щель Энке (радиус $1.34\cdot 10^5$ км), а второй – сквозь щель Гюйгенса (радиус $1.17\cdot 10^5$ км) в кольцах. Определите расстояния апосатурния этих кораблей. Останутся ли они искусственными спутниками Сатурна?

Отговори

Решение

Е.Н. Фадеев

10 класс: Решить задачу также для аппарата, пролетающего сквозь щель Гюйгенса (радиус $1.17\cdot 10^5$ км).

Как известно, из-за быстрого вращения планета Сатурн заметно сжата, ее полярный радиус на 10% меньше экваториального. Поэтому корабль мог пролетететь над полюсом на столь близком расстоянии от центра планеты. Он двигался относительно Сатурна по одному из конических сечений: эллипсу, параболе или гиперболе. Предположим, что корабль двигался по эллипсу. Кольца Сатурна расположены в плоскости его экватора. Поэтому в этом эллипсе нам известно расстояние перисатурния $r$ и фокальный параметр $p$ – длина отрезка, перпендикулярного большой оси эллипса, соединяющего фокус $\mathbf{F_1}$ с точкой эллипса $\mathbf{M}$ .

Эллипс с центром O и фокусами F1 (слева) и F2 (справа) на большой оси; вокруг F1 нарисована окружность с подписью «Сатурн» и радиусом r; из F1 вверх перпендикулярно оси проведен отрезок p к точке M эллипса; от M к F2 проведен отрезок x; расстояние F1–O подписано ae; пунктиром показан сжатый контур вблизи F1.

Расстояние перисатурния $r$ есть $a(1-e)$ , а расстояние от каждого из фокусов эллипса до его центра (точка $\mathbf{O}$ ) равно $ae$ , где $a$ – большая полуось эллипса, $e$ – его эксцентриситет. Сумма расстояний от каждой точки эллипса до его фокусов равна $2a$ . Это относится и к точке $\mathbf{M}$ , в которой аппарат пролетел сквозь щель в кольцах:

2a = p + x = p + \sqrt{p^2 + 4a^2e^2}.

Решая это уравнение, мы получаем:

p = a\,(1 - e^2) = r\,(1 + e),

e = (p/r) - 1.

Подставляя в качестве $p$ радиус щели Энке, получаем величину $e$ , равную примерно 1.2. Таким образом, эта орбита не является эллиптической, и аппарат покинет окрестности Сатурна.

Далее – только для 10 класса:

Второй аппарат, пролетевший через щель Гюйгенса, действительно двигается по эллиптической орбите с эксцентриситетом 0.94. Расстояние апосатурния этого корабля составит:

R = a\,(1 + e) = r\,\frac{1+e}{1-e} = \frac{r\,p}{2r - p}.

Получается, что аппарат, прошедший через щель Гюйгенса, должен удалиться от Сатурна на $1.96\cdot 10^6$ км. На таком, и даже на большем расстоянии располагаются естественные спутники планеты. Значит, такой аппарат останется спутником Сатурна.

Содержание сборника

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс	3
10 класс	8
11 класс	12

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс	19
10 класс	26
11 класс	31

Оригинал в Архива: prob2013tepr.pdf · официални решения: psol2013tepr.pdf