ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11. X.5 · МКС на звездном небе

• На широте 46° МКС может быть ярче примерно на $1.2^m$, чем на широте 56° (минимальное расстояние 400 км против примерно 700 км).

О.С. Угольников

Яркость Международной космической станции при наблюдении из определенной точки Земли достигает максимума, когда она располагается на минимальном расстоянии (при круговой орбите это соответствует максимальной высоте над горизонтом) и освещена Солнцем. Освещение Солнцем возможно для любого положения станции, а в летние месяцы освещение вблизи северной точки орбиты непрерывно. Поэтому для решения задачи нам достаточно найти соотношение минимальных расстояний от двух точек наблюдения до МКС.

Орбита МКС показана на рисунке. Очевидно, что в зависимости от положения на орбите, станция может проходить над любой точкой Земли с широтами от $-i$ до $+i$, где $i$ – угол наклона орбиты станции к плоскости экватора Земли. Поэтому на широте $\varphi_1 = 46^{\circ}$ станция может наблюдаться в зените, находясь на расстоянии, равной высоте орбиты $H$. На широте $\varphi_2 = 56^{\circ}$ такое невозможно. Ближайшее положение станции будет достигаться, когда она окажется в северной точке своей орбиты, а наблюдатель – в ближайшей к ней точке своей параллели. Расстояние между станцией и наблюдателем будет равно

Здесь угол $\gamma$ равен разности широты $\varphi_2$ и наклонения $i$. Последнее равенство записано с учетом малости угла $\gamma$ и представляет собой, по сути, теорему Пифагора, где соответствующая дуга считается прямой линией. Расстояние равно примерно 700 км. При наблюдении с этой широты станция будет выглядеть слабее, соотношение звездных величин равно