ВсОА 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 27. Практический тур, 11 класс. XI.3. Метеорный рой

• $2.3 \times 10^{6}$

  2.3 миллиона метеорных частиц потока Персеиды; полное зенитное число потока ZR около 13000.

(О.С. Угольников)

Для решения задачи нам нужно установить связь между величиной ZHR, приведенной на графиках, с соответствующим потоком метеорных частиц $F$, движущихся к Земле (в км$^{-2}$ час$^{-1}$) и яркостью сгорания $J_0$, соответствующей метеору блеском ярче $6.5^{m}$ в зените. В общем виде решить эту задачу довольно сложно, однако можно получить достаточно точную оценку без больших математических выкладок. Обратим внимание, что параметр ZHR вычисляется для радианта, расположенного в зените, и учитывает метеоры, летящие по всему небу, без учета атмосферного ослабления, даже вблизи горизонта. Кроме этого, число метеоров хоть и растет со звездной величиной, но достаточно медленно. В этом случае основной вклад в параметр ZHR, как это ни странно, будут вносить метеоры, летящие далеко от точки наблюдения и видимые низко над горизонтом. Покажем это.

Изобразим на рисунке (справа) поверхность Земли и ее атмосферу, в которой задерживаются метеоры. В пренебрежении рефракцией определим максимальное расстояние $L$ между точкой наблюдения и самой дальней траекторией метеора, который можно увидеть:

Это значительно больше высоты сгорания метеоров $h$. Рассмотрим некоторое «прицельное расстояние» $l$, существенно превышающее $h$. Определим количество метеорных тел, которое пройдет через кольцо радиусом $l$ и толщиной $\Delta l$ за единицу времени:

Все эти тела дали бы видимые явления метеоров, находись они над наблюдателем, на расстоянии $h$ от него. Однако, они существенно дальше. Расстояние до метеора можно считать равным $l$. Необходимую звездную величину $6.5^{m}$ будут иметь только те метеоры, чья реальная яркость превзойдет

Чтобы определить количество таких метеоров, учтем, что при одинаковых условиях наблюдения их число ярче величины $m$ в некоторой точке неба в $\sqrt{2.512}$ (или 1.6) раз больше числа метеоров ярче величины $(m - 1)$. Другими словами, число метеоров с яркостью более $J_l$ пропорционально $J_l^{-1/2}$. Тогда число видимых метеоров на расстоянии $l$ будет равно

Мы видим одно интересное свойство, которое облегчит дальнейшие расчеты: число метеоров не зависит от расстояния $l$. В реальности это свойство нарушается при малых $l$ и большой высоте метеоров над горизонтом. Там расстояние до метеоров больше, чем $l$, величина $N_l$ несколько меньше. Но ввиду малости вклада этих метеоров в общий поток это можно не принимать во внимание. Суммируя вклад всех «колец» вплоть до расстояния $L$, получаем выражение для ZHR:

Отметим, что учет ослабления метеоров на больших расстояниях был необходим: без него для ZHR получилось бы простое выражение $\pi FL^2$, переоценивающее его в 5 с лишним раз. Вычислим теперь полное число метеорных тел с яркостью сгорания выше $J_0$, попадающих в земную атмосферу за один час:

Получается, что для обеспечения зенитного часового числа ZHR, равного единице, в атмосферу ежечасно должно вторгаться 180 потенциально видимых глазом метеорных тел. Теперь нам нужно вычислить полное зенитное число потока (ZR), соответствующее площади под кривой, отображающей зависимость ZHR от времени. При этом нужно учесть, что малые отметки по оси абсцисс первого графика отстоят друг от друга на один день, а величины ZHR рассчитываются на один час. Число ZR получается равным 13000, и это означает, что в земную атмосферу в 2013 году попало 2.3 миллиона метеорных частиц потока Персеиды с размером, достаточным для наблюдений невооруженным глазом.