ВсОА 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. Теоретический тур, 9 класс. IX.3. Полет на Солнце

• Старт выгоднее производить днем, перед полуднем; длительность перелета $T = (1/2)^{5/2}$ лет ≈ 64.5 дней.

(О.С. Угольников)

Для того, чтобы отправить с Земли аппарат в окрестности Солнца, ему необходимо погасить гелиоцентрическую скорость, которая изначально будет почти такой же, как у самой Земли. Рассмотрим положение Солнца, Земли и траекторию аппарата.

Для выхода на траекторию во внутренние области Солнечной системы аппарату нужно получить геоцентрическую скорость, направленную против орбитальной скорости Земли. Энергетически выгодней это сделать тогда, когда вектор скорости осевого вращения Земли также направлен назад по отношению к ее орбитальному движению. Как можно увидеть из рисунка, такие условия наступают в экваториальной области Земли днем. Мы не рассматриваем энергетические затраты на преодоление поля тяжести Земли, так как они зависят только от широты, но не от времени суток. После преодоления поля тяжести Земли геоцентрическая скорость аппарата должна составить 29.8 км/с, а при старте – 31.8 км/с. При таких скоростях искривление траектории при вылете с Земли будет небольшим, и даже при его учете получаем, что старт лучше производить днем, перед полуднем. Известная шутка не соответствует энергетической эффективности перелета.

Чтобы определить длительность полета к Солнцу, отметим, что траектория аппарата будет эллипсом, у которого расстояние афелия будет равно радиусу орбиты Земли $L$, а расстояние перигелия – очень малым. Большая полуось этого эллипса составит $L/2$. По третьему закону Кеплера, орбитальный период будет равен $(1/2)^{3/2}$ лет. Время перелета составит половину этой величины или