Съдържание

ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 27. Практический тур, 11 класс. XI.3. Цепочка Маркаряна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2015

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2015 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс) · 6 април 2015 г.

Выходные данные сборника решений

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 6-12 апреля 2015 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Перед Вами фотография галактик, входящих в известную «цепочку Маркаряна» – часть скопления галактик в созвездии Девы. Галактики удалены на 16 Мпк от Земли. В таблице приведены значения лучевой скорости и видимой звездной величины каждой из этих галактик. В предположении, что «цепочка Маркаряна» является гравитационно-связанной системой, оцените массовый вклад темной материи в этой системе. Считать, что светимость галактик равна 1/10 светимости Солнца на солнечную единицу звездной массы. Межзвездным поглощением света пренебречь.

Галактика	$v_{\mathrm{R}}$ , км/с	$m$
NGC 4374 (M84)	1060	9.2
NGC 4406 (M86)	–244	8.9
NGC 4435	801	10.8
NGC 4438	71	10.0
NGC 4461	1931	11.1
NGC 4473	2244	10.2
NGC 4477	1355	10.4

Цветная фотография звездного поля с галактиками цепочки Маркаряна, подписанными желтым: NGC 4477, NGC 4473, NGC 4461, NGC 4435, NGC 4438, M 86, M 84; справа вверху голубой масштабный отрезок «15′». — XI. 3

Отговори

Решение

(Н.Н. Шахворостова)

Будем считать систему гравитационно-связанной, если ее полная энергия отрицательна. Это не значит, что система останется такой вечно и не потеряет ни одного своего члена, но в этом случае она не сможет распасться полностью.

Чтобы найти величину энергии, нужны данные о массах и скоростях в этой системе. Из наблюдений мы знаем яркости галактик, пропорциональные их массе, и одну компоненту скорости каждой из них. Введем значение яркости галактики, определяемое ее звездной величиной:

J_i = CM_i = 10^{-0.4m_i}

Здесь $m_i$ – видимая звездная величина галактики с номером $i$ , $M_i$ – ее видимая (звездная) масса, $C$ – некоторая постоянная. Определим лучевую скорость центра видимой массы всей "цепочки Маркаряна":

V_0 = \frac{\sum_i M_i v_i}{\sum_i M_i} = \frac{\sum_i J_i v_i}{\sum_i J_i} = +670\ \text{км/с}.

Каждая из галактик движется вдоль луча зрения относительно центра масс со скоростью $v_i - V_0$ . Среднеквадратичная собственная лучевая скорость галактик составляет

\bar{v}_1 = \sqrt{\frac{\sum_i M_i(v_i - V_0)^2}{\sum_i M_i}} = \sqrt{\frac{\sum_i J_i(v_i - V_0)^2}{\sum_i J_i}}.

В действительности, галактики движутся вдоль трех направлений, квадраты компонент скорости складываются друг с другом. Будем считать вклад в энергию от движения по всем трем осям одинаковым. Тогда среднеквадратичная собственная скорость галактик равна

\bar{v} = \sqrt{\frac{3\sum_i M_i(v_i - V_0)^2}{\sum_i M_i}} = \sqrt{\frac{3\sum_i J_i(v_i - V_0)^2}{\sum_i J_i}} = 1500\ \text{км/с}.

Для простоты решения мы вполне могли считать массы галактик одинаковыми. В этом случае мы бы получили несколько иное значение средней лучевой скорости (+1000 км/с), но практически такую же среднеквадратичную скорость (1500 км/с).

Заметим, что скрытая масса, входящая в "цепочку Маркаряна", взаимодействует с видимой массой и также движется, и для нее мы предполагаем ту же характерную среднеквадратичную скорость. Чтобы система с такими скоростями была связанной, модуль потенциальной энергии должен превосходить кинетическую энергию. Обозначим характерный радиус системы как $R$ . Тогда

\frac{GM^2}{2R} > \frac{M\bar{v}^2}{2};\quad M > \frac{\bar{v}^2 R}{G}.

Радиус системы нам известен, так как он виден под углом 40′ с расстояния 16 Мпк. Он равен 200 кпк, и это означает, что полная масса системы не меньше $2\cdot 10^{44}$ кг или $10^{14}$ масс Солнца.

Определим теперь массу видимого вещества в "цепочке Маркаряна". Вычисляя суммарную видимую звездную величину всех галактик, получаем $7.7^{\mathrm{m}}$ . Пренебрегая межзвездным поглощением (как в галактиках цепочки, так и в нашей Галактике), получаем абсолютную звездную величину системы:

m_{\mathrm{A}} = m + 5 - 5\lg D = -23.3.

Здесь $D$ – расстояние до системы. Абсолютная звездная величина системы на $28^{\mathrm{m}}$ меньше, чем у Солнца. Следовательно, светимость "цепочки Маркаряна" равна $10^{0.4\cdot 28}$ или 160 миллиардам светимостей Солнца. По условию задачи, одна солнечная светимость в галактиках создается звездной массой в 10 масс Солнца. В итоге, суммарная видимая масса системы $M_{\mathrm{V}}$ равна $1.6\cdot 10^{12}$ масс Солнца. Предположение о гравитационной связанности системы ведет к величине вклада темного вещества:

\mu_{\mathrm{D}} = \frac{M - M_{\mathrm{V}}}{M} = 0.984.

Это очень большая величина. По-видимому, цепочка Маркаряна не является гравитационно-связанной системой. К подобному выводу пришел сам В.Е. Маркарян в своей работе 1961 года.

Бланк к задачам X.2 и X.3 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче XI.2 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2015tepr.pdf · официални решения: psol2015tepr.pdf