Съдържание

ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 7. Теоретический тур, 10 класс. X.1. Синхронные спутники

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2015

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Великий Новгород, 2015 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс) · 6 април 2015 г.

Выходные данные сборника решений

XXII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Великий Новгород, 6-12 апреля 2015 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Два искусственных спутника Земли при наблюдении из определенной точки экватора нашей планеты всегда одновременно восходят, проходят через зенит и заходят за горизонт. Орбиты спутников круговые, расположены в экваториальной плоскости, спутники движутся по ним вокруг Земли в одном направлении. При этом радиусы орбит отличаются ровно вдвое. Найдите эти радиусы орбит. Суточным параллаксом спутников пренебречь.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Спутники обращаются вокруг Земли в той же плоскости, что и сам наблюдатель за счет осевого вращения Земли. Одновременный восход, кульминация в зените и заход спутников в пренебрежении параллаксом означает равенство их синодических периодов $S$ . Для этих периодов справедливо соотношение:

\frac{1}{S_{1,2}} = \left|\frac{1}{T_0} \pm \frac{1}{T_{1,2}}\right|;\quad \left|\frac{1}{T_0} \pm \frac{1}{T_1}\right| = \left|\frac{1}{T_0} \pm \frac{1}{T_2}\right|.

Здесь $T_{1,2}$ – орбитальные периоды спутников, $T_0$ – период осевого вращения Земли (23.934 часа). Знак "+" соответствует встречному вращению спутника по отношению к вращению Земли, знак "–" будет иметь место в случае одного направления вращения Земли и спутника. Коль скоро известно, что спутники движутся вокруг Земли в одном направлении, эти знаки для них должны быть одинаковы. В случае знака "+" выражения под модулем положительны, и равенство выполняется только для одинаковых орбит ( $T_1$ = $T_2$ ), что противоречит условию задачи. Итак, мы должны рассмотреть случай со знаками "–":

\left|\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_1}\right| = \left|\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_2}\right|.

Мы вновь не рассматриваем тривиальный случай $T_1$ = $T_2$ . Пусть $T_2$ > $T_1$ , тогда $(1/T_1)$ > $(1/T_2)$ . Равенство может быть выполнено, если выражение под модулем в левой части будет отрицательным, в правой части – положительным, то есть:

\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_2}.

Это выражение можно переписать как

\frac{T_1 T_0}{T_0 - T_1} = \frac{T_2 T_0}{T_2 - T_0}.

Отсюда

T_1(T_2 - T_0) = T_2(T_0 - T_1).

Вспомним, что $T_2$ > $T_1$ , а радиусы орбит спутников отличаются в 2 раза. По III закону Кеплера

\frac{T_2}{T_1} = K = 2^{3/2}.

Подставляя это в соотношение периодов, имеем:

KT_1^2 - T_1T_0 = KT_1T_0 - KT_1^2.

Решая это уравнение, получаем:

T_1 = \frac{(K+1)T_0}{2K};\quad T_2 = KT_1 = \frac{(K+1)T_0}{2}.

Численные значения периодов равны 16.20 и 45.82 часа. Радиусы орбит спутников составляют

R_{1,2} = \left(\frac{GMT_{1,2}^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}.

Здесь $M$ – масса Земли. Радиусы орбит равны 32.4 и 64.8 тысячи километров.

Бланк к задачам X.2 и X.3 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Бланк к задаче XI.2 (практический тур)

Сдайте этот лист вместе с решениями задач!

Оригинал в Архива: prob2015tepr.pdf · официални решения: psol2015tepr.pdf