ВсОА 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 8. Теоретический тур, 10 класс. X.2. Затмение на полюсе

• 3м44с

  Максимальная продолжительность полной фазы $t = 3^{\text{м}}44^{\text{с}}$ (для Луны в перигее и Солнца в афелии, в конце июня – начале июля).

(А.Н. Акиньщиков)

Очевидно, двухминутное полное солнечное затмение – не самое продолжительное, которое может случиться на северном полюсе Земли. Затмение 2015 года наступило в весеннее равноденствие, и Солнце и Луна едва появились над горизонтом за счет явления атмосферной рефракции. В это время расстояние до Луны не было минимально возможным. Солнце, в свою очередь, не было в своей самой удаленной точке от Земли.

Затмение с наибольшей продолжительностью может наступить на северном полюсе в конце июня – начале июля. В это время Солнце и Луна будут располагаться на высоте ε (около 23.4°), и точка наблюдения будет приближена к Луне (см. рисунок):

Если сама Луна будет еще и в перигее, на наименьшем расстоянии от центра Земли $L$ (356410 км), то угловой диаметр Луны при наблюдении с полюса достигнет

Здесь $R$ – полярный радиус Земли. В угловой мере величина $d$ составит 33′46″. Солнце в июне – начале июля, напротив, находится дальше всего от Земли, и его угловой диаметр $d_0$ уменьшается до 31′31″. Полное солнечное затмение может продолжаться, пока Луна преодолевает на небе относительно Солнца угловое расстояние $d$ – $d_0$, равное 2′15″. Северный полюс не движется за счет осевого вращения Земли, и перемещение Луны будет происходить с той же угловой скоростью, с какой она движется по орбите (с очень малой параллактической поправкой на приближенное положение наблюдателя, необязательной для учета). В соответствии со II законом Кеплера, тангенциальная скорость тела по ходу движения по орбите пропорциональна $(1/L)$, а угловая скорость – $(1/L)^2$, где $L$ – расстояние до него. Во время затмения в перигее при наблюдении с полюса данная угловая скорость составляет

Здесь $L$ и $L_0$ – наименьшее и среднее расстояние Луны от Земли, $T$ – орбитальный период Луны. Данная угловая скорость составляет 0.643′ в минуту. Практически в том же направлении перемещается относительно звезд и Солнце, угловая скорость в случае малого эксцентриситета орбиты Земли $e$ равна

Здесь $T_0$ – орбитальный период Земли. Угловая скорость составляет 0.040′ в минуту. Максимальная продолжительность полного солнечного затмения на северном полюсе Земли составит

Полное солнечное затмение длительностью в $3^{\text{м}}13^{\text{с}}$ произошло в непосредственной близости от северного полюса ровно 200 лет назад, 6 июля 1815 года.