Съдържание

ВсОА 2016, Летен сбор · теория (IOAA), дълги задачи — Задача 3. Годограф

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2016

Летние учебно-тренировочные сборы по астрономии. Теоретический тур — IOAA. 28 июня – 12 июля 2016 года. Длинные задачи · 28 юни 2016 г.

Условие

Тело движется в центральном гравитационном поле звезды массы $M$ . Плоскость орбиты разбита на секторы с общей вершиной в центре звезды и одинаковыми малыми углами раствора $\Delta\varphi$ . Удельный орбитальный момент импульса тела $\vec{l}$ .

a) Найдите изменение скорости спутника $|\Delta\vec{v}|$ при прохождении каждого сектора.

Годографом называют кривую, соединяющую концы вектора переменной величины, отложенного в разные моменты времени от одной точки. Так, известно, что годограф совершающего кеплерово движение тела представляет собой окружность или дугу окружности.

Слева (a): эллипс в осях x, y с отмеченным фокусом («Фокус») на положительной полуоси x и точками 1–6 на орбите (2 и 4 — на оси x, 6 — на оси y, в точке 5 показан вектор скорости). Справа (b): окружность в осях vx, vy с началом 0 и центром («Центр») ниже начала координат на оси vy; из 0 проведён вектор скорости (5) к окружности. — Рис. 2: Вид эллиптической орбиты (a) и **примерного** годографа скорости (b). Масштабы по осям $x$ и $y$ , $v_x$ и $v_y$ попарно совпадают.

b) Уточните годограф скорости для эллиптической орбиты, изображённой на рис. 2a, с учётом её геометрических параметров.

c) Укажите на годографе точки, соответствующие отмеченным (1 – 6) на орбите.

d) Изобразите качественно годограф скорости для гиперболической орбиты с эксцентриситетом $e = 2$ . Укажите на рисунке характерные элементы и соотношения между ними.

Отговори

Решение

|d\vec{v}| = \frac{GM}{r^2}\,dt, \qquad |\vec{l}| = r\cdot\frac{r\,d\varphi}{dt} \quad\Rightarrow\quad |\Delta\vec{v}| \simeq \boxed{\frac{GM}{|\vec{l}|}\,\Delta\varphi}

\begin{cases} 2a = (67 \pm 2)\ \mathrm{mm};\\ 2b = (47 \pm 2)\ \mathrm{mm}; \end{cases} \quad\Rightarrow\quad e = \sqrt{1 - \left(\frac{2b}{2a}\right)^2} = 0.71 \pm 0.03;

\frac{v_{\max}}{v_{\min}} = \frac{\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}}{\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}} = \frac{1+e}{1-e} = 5.9 \pm 0.7;

|v_{y0}| = \frac{v_{\max} - v_{\min}}{2} = (2.1 \div 2.8)\,v_{\min}.

c) Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Результат построения приведён на рис. 4a.

d) Реализуется вариант с дугой окружности (рис. 4b). Угол $\beta$ равен углу между асимптотой и действительной осью гиперболы. Его можно найти, например, используя уравнение гиперболы в полярных координатах:

r(\theta) = \frac{k}{1 - e\cos\theta} \quad\Rightarrow\quad \beta = 90^{\circ} - \theta_{\mathrm{crit}} = \arcsin\frac{1}{e} = 30^{\circ}.

Слева (a): окружность-годограф в осях vx, vy с началом 0 внутри окружности; из 0 проведены векторы скорости к точкам 1–6 на окружности (2 — внизу на оси vy, 4 — вверху на оси vy, 6 — на оси vx). Справа (b): дуга окружности под началом 0 в осях; из 0 проведены вектор v∞ к концу дуги и вертикальный вектор vmax к нижней точке дуги; угол β между vmax и штриховой линией к другому концу дуги. — Рис. 4: Ожидаемые годографы скоростей для эллиптической (a) и гиперболической (b) орбит.

Минимальная скорость удовлетворяет уравнению

\frac{v_\infty^2}{2} = -\frac{GM}{2a} \quad\Rightarrow\quad v_\infty = \sqrt{-\frac{GM}{a}},

максимальная скорость

v_{\max} = \sqrt{-\frac{GM}{a}\frac{e+1}{e-1}} = v_\infty\sqrt{\frac{e+1}{e-1}} \approx 1.73\,v_\infty.

Указанных параметров достаточно, чтобы однозначно задать годограф.

Оригинал в Архива: IOAA-long_uslovia.pdf · официални решения: IOAA-long_reshenia.pdf