ВсОА 2016, Летен сбор · теория (IOAA), кратки задачи — Задача 15. Истина в Вине

• 0.9

  $L_1^*/L_2^* = (1 + Z)^{-1} \simeq 0.9$; “наблюдаемая” светимость дальнего источника больше.

К.А. Гришин, И.А. Утешев

Пусть фотоны были излучены в момент времени $t_e$ и приняты в $t_0$. «Путешествуя», они покраснели и поредели (увеличились длины волн и расстояние между ними). При светимости источника $L$ создаваемая им освещённость $E = \dfrac{L}{4\pi r_0^2} \cdot \dfrac{a(t_e)}{a(t_0)} \cdot \dfrac{a(t_e)}{a(t_0)}$, где $r_0$ — расстояние в момент приёма. С учётом $a(t_0)/a(t_e) = 1 + z$ “наблюдаемая” светимость $L^* = L(1 + z)^{-2}$.

Положим, приёмник настроен на полосу $\mathfrak{R}_1\colon [\lambda_0 \pm \delta\lambda]$. Принимаемое от источника излучение было излучено не в $\mathfrak{R}_1$, а в $\mathfrak{R}_2\colon \left[\dfrac{\lambda_0}{1 + z} \pm \dfrac{\delta\lambda}{1 + z}\right]$. В условиях задачи можно пользоваться приближением Рэлея – Джинса. В полосе $\mathfrak{R}_1$ светимость $L_1 = \mathrm{const} \cdot \lambda_0^{-4}\,\delta\lambda$, а в полосе $\mathfrak{R}_2$ (из пропорциональности) — $L_2 = L_1(1 + z)^3$.

Искомое отношение $\dfrac{L_1^*}{L_2^*} = \dfrac{L_1}{L_2(1 + Z)^{-2}} = (1 + Z)^{-1} \simeq 1 - Z = 0.9$. “Наблюдаемая” светимость дальнего источника больше!