Съдържание

ВсОА 2017, Есенен сбор · практически тур 1 — Задача 1. Таинственные огни

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Осенние учебно-тренировочные сборы по астрономии, 13 октября 2017 г. Практический тур – 1 · 13 октомври 2017 г.

Время

На выполнение этой части отводится 2.5 часа

Условие

В 1941 году компьютеры были совсем не так доступны и не столь совершенны, как в 2017. Конечно, и тогда нередко встречались задачи, где современная техника оказалась бы очень кстати. Одна из них — моделирование взаимодействующих галактик.

Именно тогда Эрик Холмберг, шведский астроном, создал первую подобную модель. Чтобы сократить количество вычислений, он использовал известное сходство между двумя физическими законами:

F = \frac{G\mathfrak{M}m}{r^2} \quad \text{и} \quad J = \frac{L}{4\pi r^2}.

Восемь негативных фотографий (две колонки по четыре кадра) стола с множеством лампочек на проводах, расставленных в два скопления — моделях взаимодействующих галактик; от кадра к кадру скопления сближаются и деформируются. — Рис. 1: Фотография аналогичного эксперимента, проведённого в 2013 году (негатив)

В его модели каждая галактика состояла из 37 лампочек с фотоэлементами; он определял в каждый момент времени, сколько света приходит с какой стороны, а после этого рассчитывал силу, пользуясь тем, что показатели степени при $r$ одинаковы. После этого он передвигал лампочки, применяя один из численных методов интегрирования дифференциальных уравнений.

Уже в наше время астрошкольник Ашот захотел убедиться в том, что метод работает. Конечно, галактики были сложны для него; поэтому он решил смоделировать обычное кеплерово движение космического корабля, облетающего Солнце.

Для наглядности Ашот выбрал систему единиц, в которой основными единицами расстояния и времени являются астрономическая единица и земной год соответственно. Если размерность величины не указана — значит, величина представлена в этой системе единиц, например, гелиоцентрическая (кеплерова) постоянная

\varkappa = G\mathfrak{M}_{\odot} = 39.475.

Начальные координаты и компоненты скорости корабля (в плоской прямоугольной системе координат с центром в Солнце) были такими:

\begin{cases} x^{(0)} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}, & y^{(0)} = -\dfrac{1}{2}; \\ v_x^{(0)} = 0, & v_y^{(0)} = 6.283. \end{cases}

В качестве Солнца Ашот использовал лампу с мощностью $P = 100$ Вт. Фотодатчик (КПД преобразования сеть – лампа – датчик $\eta = 2\%$ ), измеряющий освещённость в месте своего расположения, размещался на таком же расстоянии от лампы в метрах, на каком корабль находился от Солнца в астрономических единицах. Это позволило использовать формулу

\frac{1}{r^2} = \frac{4\pi J}{L},

не пересчитывая блеск и светимость ни в какую другую систему и получать $r$ сразу в астрономических единицах.

Таким образом, для ускорения корабля верно следующее выражение (здесь векторы обозначаются жирным шрифтом; $\mathbf{r}$ — радиус-вектор корабля, $\mathbf{a}$ — его ускорение):

\mathbf{a} = -\frac{G\mathfrak{M}_{\odot}}{r^3}\mathbf{r} = \frac{4\pi G\mathfrak{M}_{\odot}}{L} \cdot J \cdot \frac{\mathbf{r}}{r}, \qquad (1)

куда все величины можно подставлять без изменения системы единиц.

Чтобы вычислить положение и скорость корабля в последующие моменты времени, Ашот использовал так называемый метод «чехарды»:

\mathbf{r}^{(i+1)} = \mathbf{r}^{(i)} + \mathbf{v}^{(i)}\Delta t + \frac{\mathbf{a}^{(i)}}{2}\Delta t^2, \qquad (2)

\mathbf{v}^{(i+1)} = \mathbf{v}^{(i)} + \frac{\mathbf{a}^{(i)} + \mathbf{a}^{(i+1)}}{2}\Delta t, \qquad (3)

где

\begin{aligned} \mathbf{r}^{(0)} &\equiv \mathbf{r}(0) = \bigl(x^{(0)},\, y^{(0)}\bigr), \\ \mathbf{v}^{(0)} &\equiv \mathbf{v}(0) = \bigl(v_x^{(0)},\, v_y^{(0)}\bigr), \\ \mathbf{a}^{(i)} &\equiv \mathbf{a}\bigl(\mathbf{r}^{(i)}\bigr), \\ \Delta t &= 0.03. \end{aligned}

Ашот вычислил значения для первых 10 точек (см. измерения фотоэлемента в таблице справа).

$i$	$J$ , Вт/м $^2$
0	0.150
1	0.203
2	0.231
3	0.308
4	0.429
5	0.542
6	0.547
7	0.464
8	0.391
9	0.260

1. Изобразите на графике реальную орбиту космического корабля.

2. На том же графике отметьте точки, рассчитанные Ашотом.

3. Считая, что абсолютная погрешность фотоэлемента постоянна, оцените её отношение к точному значению освещённости в начальный момент времени.

4. Отметьте на графике реальные положения корабля в те моменты времени, для которых провёл вычисления Ашот.

5. Какой модификации требует метод для задачи $n$ тел? Почему в ситуации с галактиками он оказывается эффективен, хотя в эксперименте Ашота это явно не так?

Подсказка. Вам могут пригодиться соотношения между истинной, эксцентрической и средней аномалиями:

M = E - \varepsilon \sin E, \qquad (4)

\tan\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\tan\frac{E}{2}. \qquad (5)

Отговори

Решение

Решение:

1. Самый простой способ решить первый пункт — увидеть красивые числа в начальных координатах и предположить, что система координат выбрана разумным образом. Пусть, например, большая полуось орбиты вертикальна. Поскольку скорость тоже направлена вертикально, ясно, что выглядеть это будет так:

Эллипс с вертикальной большой осью в осях x, y; центр эллипса в начале координат. Из крайней левой точки эллипса на оси x вверх направлен вектор v0; от этой точки к двум точкам на оси y проведены отрезки длиной a, отрезки от центра до этих точек (фокусов) подписаны εa.

В этой ситуации большая полуось $a$ выражается как

a = \sqrt{x_0^2 + y_0^2} = 1.

При этом скорость будет равна

\sqrt{\frac{\varkappa}{a}} \approx 6.283,

что говорит о том, что именно этот случай и реализуется.

Нам пригодится эксцентриситет эллипса:

\varepsilon = \frac{f}{a} = \frac{|y_0|}{a} = 0.5.

2. Пусть $\dfrac{4\pi\varkappa}{L} = K$ . Из формулы (25) для ускорения можно записать

\mathbf{a}^{(i)} = -\frac{KJ^{(i)}\mathbf{r}^{(i)}}{r^{(i)}},

или, что то же самое,

\begin{cases} a_x^{(i)} = -\dfrac{KJ^{(i)}x^{(i)}}{\sqrt{\bigl(x^{(i)}\bigr)^2 + \bigl(y^{(i)}\bigr)^2}}, \\[2ex] a_y^{(i)} = -\dfrac{KJ^{(i)}y^{(i)}}{\sqrt{\bigl(x^{(i)}\bigr)^2 + \bigl(y^{(i)}\bigr)^2}}. \end{cases}

Найдём константу:

K = \frac{4\pi\varkappa}{L} \approx 248.029.

Проведём для примера первый этап вычислений. $x^{(0)}$ и $y^{(0)}$ мы знаем, поэтому можем найти вектор ускорения

\mathbf{a}^{(0)} = \begin{pmatrix} 32.220 \\ 18.602 \end{pmatrix}.

Теперь находим $\mathbf{r}^{(1)}$ по формуле (26):

\mathbf{r}^{(1)} = \begin{pmatrix} -0.852 \\ -0.303 \end{pmatrix}.

Зная $\mathbf{r}^{(1)}$ , можно найти $\mathbf{a}^{(1)}$ :

\mathbf{a}^{(1)} = \begin{pmatrix} 47.434 \\ 16.886 \end{pmatrix}.

Остаётся найти $\mathbf{v}^{(1)}$ по формуле (27):

\mathbf{v}^{(1)} = \begin{pmatrix} 1.195 \\ 6.815 \end{pmatrix}.

Продолжая такую «деятельность», построим таблицу:

$i$	$x$	$y$
0	$-0.866$	$-0.500$
1	$-0.852$	$-0.303$
2	$-0.794$	$-0.090$
3	$-0.686$	$+0.127$
4	$-0.510$	$+0.332$
5	$-0.254$	$+0.485$
6	$+0.059$	$+0.485$
7	$+0.358$	$+0.456$
8	$+0.593$	$+0.299$
9	$+0.750$	$+0.103$

Отметить эти точки на графике уже не представляет труда, мы приведём его в конце решения.

3. Зная точки, в которых Ашот измерял освещённость, можно найти её точное значение в них, используя мощность лампочки. Для этого нам потребуется формула

J^{(i)}_{true} = \frac{L}{4\pi\bigl(r^{(i)}\bigr)^2} = \frac{P\eta}{4\pi\left(\bigl(x^{(i)}\bigr)^2 + \bigl(y^{(i)}\bigr)^2\right)},

где $\eta$ — КПД.

Используя (??), вычисляем истинные значения $J$ и квадраты отклонений

$i$	$J_{true}$	$(J_{true} - J)^2$
0	0.159	$8.4 \cdot 10^{-5}$
1	0.195	$6.0 \cdot 10^{-5}$
2	0.249	$3.3 \cdot 10^{-4}$
3	0.330	$4.9 \cdot 10^{-4}$
4	0.444	$2.1 \cdot 10^{-4}$
5	0.556	$1.9 \cdot 10^{-4}$
6	0.571	$6.1 \cdot 10^{-4}$
7	0.472	$7.1 \cdot 10^{-5}$
8	0.354	$1.4 \cdot 10^{-3}$
9	0.265	$2.6 \cdot 10^{-5}$

Чтобы оценить искомое отношение, найдём стандартное отклонение:

\frac{S}{J^{(0)}_{true}} = \frac{1}{J^{(0)}_{true}}\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=0}^{9}\bigl(J^{(i)}_{true} - J^{(i)}\bigr)^2}{9}} \approx 0.12.

4. Это самая трудная часть задачи. Сначала найдём среднюю аномалию в начальный момент времени.

Тот же эллипс в осях x, y: из крайней левой точки вверх направлен вектор v0; отрезок a соединяет её с верхним фокусом на оси y, отрезок от центра до фокуса подписан εa; у фокуса дугой отмечен угол θ0 между направлением на верхнюю вершину и направлением на корабль.

Из картинки ясно, что истинная аномалия

\theta_0 = \pi - \arccos(\varepsilon) = \frac{2\pi}{3}.

По формуле (4) находим эксцентрическую:

E_0 = 2\arctan\frac{\tan\frac{\pi}{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2}.

И по формуле (5) находим среднюю:

M_0 = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi - 1}{2}.

Нам также известно, что средняя аномалия зависит от времени как

M(t) = M_0 - \omega t,

где

\omega = \sqrt{\frac{\varkappa}{a^3}}.

Зная $E^{(i)}$ в каждой точке, можно выразить по формуле (5) $\theta^{(i)}$ в каждой точке; $E^{(i)}$ же можно искать, решая уравнение Кеплера методом простой итерации или методом Ньютона по известному $M^{(i)}$ .

Теперь запишем уравнение эллипса в полярных координатах:

r(\theta) = \frac{a(1 - \varepsilon^2)}{1 + \varepsilon\cos\theta}.

Значит, для каждого момента времени мы знаем истинную аномалию и расстояние от фокуса. Нетрудно теперь записать, как будут выглядеть координаты точки:

\begin{cases} x = -r(\theta)\sin\theta, \\ y = r(\theta)\cos\theta. \end{cases}

В таблице приведены результаты вычислений:

$i$	$x$	$y$
0	$-0.866$	$-0.500$
1	$-0.849$	$-0.303$
2	$-0.791$	$-0.092$
3	$-0.676$	$+0.125$
4	$-0.488$	$+0.326$
5	$-0.218$	$+0.468$
6	$+0.104$	$+0.493$
7	$+0.399$	$+0.387$
8	$+0.617$	$+0.201$
9	$+0.756$	$-0.013$

На графике зелёным соединены точки истинной траектории, красным — те, что нашёл Ашот, а синим — те, что получились бы, если бы у фотометра не было погрешности.

График в координатах x (от −1.0 до 1.0) и y (от −0.6 до 0.6): три ломаные по десяти точкам от (−0.866, −0.500) вправо по дуге; зелёная — истинная траектория, красная — точки Ашота, синяя — точки без погрешности фотометра; красная и синяя почти совпадают и в конце лежат выше зелёной.

5. В задаче $n$ тел необходимо каким-то образом понимать, с какой стороны пришёл свет; просто измерять полную освещённость в точке недостаточно.

В этой ситуации вычисления с измерениями были почти эквивалентны вычислениям без них, потому что мы «руками» считали вектор направления. Если источников света много, а фотометр каким-то образом понимает, с какой стороны пришёл свет, он сделает эту (гораздо большую, чем в задаче двух тел) работу за нас.

Оригинал в Архива: Q_prac1.pdf · официални решения: A_prac1.pdf