ВсОА 2017, Есенен сбор · теория — Задача 1. Теория вероятностей

• 9 %

(И. Утешев)

Решение: Найдём эклиптическую широту $\iota$ Leo. Для этого совершенно необязательно вспоминать формулы преобразования координат: достаточно решить более популярную подзадачу о нахождении расстояния между двумя точками на сфере, а именно светила и северного полюса эклиптики ($18^{h}$, $90^{\circ} - \varepsilon$). Более того, в связи с близостью звезды к точке осени, допустимо использование плоского приближения (что изначально не рассматривалось автором). Так или иначе,

Далее необходимо принять принципиальное решение о продолжении решения задачи: несмотря на то, что $\beta > i = 5.15^{\circ}$ — широта светила превосходит наклонение лунной орбиты к эклиптике, покрытия будут наблюдаться: в игру вступают угловой радиус Луны и её суточный параллакс:

Период прецессии узлов лунной орбиты —18.6 лет, что существенно меньше тысячи лет. Следовательно, можем рассматривать равновероятные, всевозможные положения узлов орбиты и Луны на орбите. Покрытия светила могут происходить при эклиптической широте Луны

Задача свелась к нахождению промежутка времени, в течение которого орбита Луны расположена таким образом, чтобы на долготе $\iota$ Leo $\beta(\lambda_0) > \beta_{\text{кр}}$ (тогда покрытие происходит, причём, строго говоря, каждый месяц). Окончательно, искомая вероятность

Небольшим бонусом поощрялись решения, в которых предпринимались попытки учесть условия видимости (день – ночь), исследовалось влияние других факторов.