Съдържание

ВсОА 2017, Есенен сбор · теория — Задача 10. 67 P

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Осенние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 11 октября 2017 г. Теоретический тур · 11 октомври 2017 г. · 20 т.

Условие

Используя данные прилагаемого графика, определите параметры орбиты объекта 67 P: большую полуось $a$ и эксцентриситет $e$ . Части графика были утрачены в ходе постобработки.

График зависимости гелиоцентрической лучевой скорости (км/с, от −15 до 15) от гелиоцентрического расстояния (а.е., от 0 до 6). Кривая — замкнутая петля, симметричная относительно оси абсцисс: максимум около 13.4 км/с при расстоянии около 2 а.е., далее скорость спадает к 6 км/с около 4.7 а.е.; нижняя ветвь зеркальна. Две белые прямоугольные области скрывают части графика: при расстояниях примерно 0.5–1.9 а.е. (скорости от −11 до 11 км/с) и примерно 4.2–5.9 а.е. (от −6 до 6 км/с). Подписи осей: «ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКАЯ ЛУЧЕВАЯ СКОРОСТЬ, КМ/С», «ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКОЕ РАССТОЯНИЕ, А.Е.».

Отговори

Решение

(И. Утешев)

Тот же график, что и в условии: гелиоцентрическая лучевая скорость (км/с, от −15 до 15) в зависимости от гелиоцентрического расстояния (а.е., от 0 до 6), с двумя белыми прямоугольниками, скрывающими части кривой.

Решение: Как известно, полная энергия тела на кеплеровой орбите является функцией только большой полуоси орбиты: $E = E(a)$ . Удобно рассмотреть круговую орбиту радиусом $a$ . Тело движется по ней с круговой скоростью $v = \sqrt{GM/a}$ ; тогда полная энергия

E = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{a} = -\frac{GMm}{2a}, \qquad (61)

и нетрудно выразить

v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}. \qquad (62)

Последнюю связь также часто называют интегралом энергии для кеплеровой орбиты.

По теореме Пифагора $v^2 = v_\tau^2 + v_r^2$ , где $v_\tau$ — трансверсальная скорость кометы. Найдём соответствующее выражение, исходя из ЗСМИ и равенства $v_r = 0$ в перигелии и афелии:

v_\tau^2 r^2 = a^2(1 - e)^2\cdot GM\left(\frac{2}{a(1 - e)} - \frac{1}{a}\right) = GMa(1 - e^2), \qquad (63)

откуда сразу следует

v_r = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} - \frac{a(1 - e^2)}{r^2}\right)}. \qquad (64)

Нетрудно заметить, что касательная к графику горизонтальна в точке $r_0 = 2.04$ а.е., $v_{r0} = 13.4$ км/с, где

\left(v_r\right)'_r(r_0) = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{r_0}{1 - e^2}. \qquad (65)

Подстановка $a, r_0, v_{r0}$ в (64) даёт уравнение относительно $e$ , разрешив которое находим и $a$ .

Ответ: $a = 3.46$ а.е.; $e = 0.64$ .

Оригинал в Архива: Q_theory.pdf · официални решения: A_theory.pdf