Съдържание

ВсОА 2017, Есенен сбор · теория — Задача 9. К Сатурну!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Осенние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 11 октября 2017 г. Теоретический тур · 11 октомври 2017 г. · 20 т.

Условие

Космический корабль запустили с поверхности Земли к Сатурну по наиболее энергетически выгодной траектории. При движении по орбите корабль пролетел мимо астероида-троянца (624) Гектор.

Определите большую полуось и эксцентриситет полученной орбиты, скорость старта с поверхности Земли, а также угол между направлением на Солнце и на Сатурн в момент старта корабля. Орбиты планет считать круговыми. Оцените относительную скорость корабля и астероида в момент сближения.

Отговори

Решение

(А. Веселова)

Решение: Корабль летит по гомановскому эллипсу, перигелий которого находится на орбите Земли, а афелий — на орбите Сатурна. Тогда большая полуось

a = \frac{a_{\oplus} + a_S}{2} \simeq 5.28\ \text{а. е.}; \qquad (48)

e = 1 - \frac{a_{\oplus}}{a} \simeq 0.81. \qquad (49)

Определим скорость, которую должен иметь корабль в точке перицентра:

v_p = \sqrt{GM_{\odot}\left(\frac{2}{a_E} - \frac{1}{a}\right)} \simeq 40.1\ \text{км/с}. \qquad (50)

Поскольку Земля движется вокруг Солнца со скоростью около 29.8 км/с, на границе сферы действия Земли корабль должен иметь скорость

\Delta v = v_p - v_E = 10.3\ \text{км/с}. \qquad (51)

Тогда скорость старта с поверхности Земли будет равна

v_{\text{st}} = \sqrt{(\Delta v)^2 + v_{\text{II}}^2} \approx 15.2\ \text{км/с}, \qquad (52)

где $v_{\text{II}}$ — вторая космическая скорость.

Время движения корабля от Земли к Сатурну равно половине орбитального периода для эллипса Гомана:

T = \frac{T_{\oplus}}{2}\left(\frac{a}{a_{\oplus}}\right)^{3/2} \simeq 6.1\ \text{года}. \qquad (53)

Поскольку к моменту окончания полета корабль и Сатурн должны оказаться в непосредственной близости друг от друга, угол, который за время полёта корабля проходит Сатурн по своей орбите,

360^{\circ} \times \frac{T}{T_S} \approx 74^{\circ}. \qquad (54)

Рассмотрим треугольник Земля $\oplus$ — Солнце $\odot$ — Сатурн $S$ в момент старта корабля. Определим по теореме косинусов геоцентрическое расстояние Сатурна:

\oplus S^2 = \oplus\odot^2 + \odot S^2 - 2\oplus S\cdot\odot S\cos(180^{\circ} - 74^{\circ}) \quad\Longrightarrow\quad \oplus S \approx 9.9\ \text{а. е.} \qquad (55)

Тогда по теореме синусов $\angle\odot\oplus S \approx 68^{\circ}$ .

Гектор является троянским астероидом Юпитера и движется по его орбите с опережением на $60^{\circ}$ . Запишем закон сохранения момента импульса для точки старта и точки пересечения орбиты троянского астероида:

a_{\oplus}\cdot v_p = a_J v_T\sin\theta, \qquad (56)

где $v_T$ — скорость корабля при пересечении орбиты Юпитера, $\theta$ — угол между радиусом-вектором и вектором скорости корабля.

Определим скорость корабля при пересечении орбиты Юпитера:

v_T = \sqrt{GM_{\odot}\left(\frac{2}{a_J} - \frac{1}{a}\right)} \approx 13.2\ \text{км/с}, \qquad (57)

откуда $\theta \approx 144^{\circ}$ . Поскольку орбиту Юпитера мы считаем круговой, вектор скорости Гектора ортогонален проведенному в эту точку радиусу-вектору. Угол между векторами скоростей

\Delta\theta = \theta - 90^{\circ} = 54^{\circ}. \qquad (58)

Скорость троянского астероида определим как круговую для орбиты Юпитера:

v_J = \sqrt{\frac{GM_{\odot}}{a_J}} \approx 13\ \text{км/с}. \qquad (59)

Относительную скорость троянца и корабля найдем по теореме косинусов для $\triangle$ скоростей:

v_{\text{отн}} = \sqrt{v_J^2 + v_T^2 - 2v_J v_T\cos\Delta\theta} \approx 12\ \text{км/с}. \qquad (60)

Оригинал в Архива: Q_theory.pdf · официални решения: A_theory.pdf