Съдържание

ВсОА 2017, Есенен сбор · теория — Задача 8. Антипланеты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Осенние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 11 октября 2017 г. Теоретический тур · 11 октомври 2017 г. · 20 т.

Условие

Лупа и Пупа живут на антипланетах, обращающихся вокруг звезды с массой $M_{\star} \simeq 10M_{\odot}$ по эллиптической орбите с фокальным параметром $p = 0.3$ а. е. и эксцентриситетом $e = 0.72$ . Как и полагается антипланетам, время от времени звезда находится точно между ними; в этот момент $X$ истинная аномалия $\nu$ планеты Пупы составляет $237^{\circ}$ .

Однажды кто-то опять всё перепутал, и центральная звезда бесследно исчезла в момент $X$ , уменьшив модули скоростей планет в 217 раз. Установите, с каким периодом $T$ планеты бедных астрономов будут обращаться в отсутствие звезды. Известно, что планеты относятся к классу горячих Юпитеров с массой $M \simeq M_{\text{♃}}$ .

Отговори

Решение

(А. Шепелев)

Решение: Величинам, относящимся к Пупе и его планете, будет присваивать индекс $P$ , а к Лупе, соответственно, — $L$ .

Найдём длину радиуса-вектора для каждой из планет в момент исчезновения звезды, учитывая, они находились на одной прямой:

r_1^P = \frac{p}{1 + e\cos\nu} = 0.494\ \text{а. е.}; \qquad (35)

r_1^L = \frac{p}{1 + e\cos(\nu - 180^{\circ})} = 0.215\ \text{а. е.} \qquad (36)

Рассчитаем расстояния от планет Пупы и Лупы до второго фокуса из теоремы косинусов для треугольников $\triangle F_1F_2P$ и $\triangle F_1F_2L$ соответственно:

\begin{aligned} r_2^P &= \sqrt{4a^2e^2 + \left(r_1^P\right)^2 - 2\cdot 2ae\cdot r_1^P\cos(\nu - 180^{\circ})} = 0.752\ \text{а. е.}, \\ r_2^L &= \sqrt{4a^2e^2 + \left(r_1^L\right)^2 - 2\cdot 2ae\cdot r_1^L\cos(360^{\circ} - \nu)} = 1.030\ \text{а. е.}, \end{aligned} \qquad (37)

где $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = 0.623$ а. е. — большая полуось орбиты планет.

Теперь определим угол между направлениями на фокусы орбиты для Пупы и Лупы из теоремы синусов для тех же треугольников:

\alpha_P = \arcsin\left(\frac{2ae\sin(\nu - 180^{\circ})}{r_2^P}\right) = 89.6^{\circ}; \qquad (38)

\alpha_L = \arcsin\left(\frac{2ae\sin(360^{\circ} - \nu)}{r_2^L}\right) = 46.9^{\circ}. \qquad (39)

Из «бильярдного» (оптического) свойства эллипса получаем угол между радиус-векторами планет и векторами их скоростей:

\beta_P = \frac{180^{\circ} + \alpha_P}{2} = 134.8^{\circ}; \qquad (40)

\beta_L = \frac{180^{\circ} - \alpha_L}{2} = 66.6^{\circ}. \qquad (41)

Интеграл энергии поможет найти модули скоростей планет после события $X$ :

V_P = \frac{1}{217}\sqrt{GM_{\star}\left(\frac{2}{r_1^P} - \frac{1}{a}\right)} = 0.68\ \text{км/с}; \qquad (42)

V_L = \frac{1}{217}\sqrt{GM_{\star}\left(\frac{2}{r_1^L} - \frac{1}{a}\right)} = 1.20\ \text{км/с}. \qquad (43)

Найдем относительную тангенциальную и радиальную скорости планет:

V_\tau = V_P\sin\beta_P + V_L\sin\beta_L = 1.59\ \text{км/с}; \qquad (44)

V_r = V_P\cos\beta_P + V_L\cos\beta_L = 0.00\ \text{км/с}. \qquad (45)

Здесь уже учтена ненулевая скорость центра масс системы.

Мысленно перенесём всю массу в одну из планет, «зафиксируем» её и пустим вторую обращаться вокруг неё с расчётной относительной скоростью:

V_\tau^2 + V_r^2 = 2GM\left(\frac{2}{r_1^P + r_1^L} - \frac{1}{a'}\right) \quad\Longrightarrow\quad a' = \left[\frac{2}{r_1^P + r_1^L} - \frac{V_\tau^2 + V_r^2}{2GM}\right]^{-1} = 0.355\ \text{а. е.} \qquad (46)

Отсюда по обобщённому третьему закону Кеплера осталось найти период:

T = T_{\oplus}\sqrt{\frac{a'^3}{a_{\oplus}^3}\frac{M_{\odot}}{2M}} \simeq 4.7\ \text{года}. \qquad (47)

Оригинал в Архива: Q_theory.pdf · официални решения: A_theory.pdf