Съдържание

ВсОА 2017, Есенен сбор · теория — Задача 7. Загадочный круг

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Осенние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 11 октября 2017 г. Теоретический тур · 11 октомври 2017 г. · 20 т.

Условие

Установите астрономический азимут восхода звезды $\varepsilon$ CMa ( $6^{h}58^{m}38^{s}$ , $-28^{\circ}58'$ ) при наблюдении из самой северной равноудалённой от Санкт-Петербурга ( $59^{\circ}57'$ с.ш., $30^{\circ}19'$ в.д.) и Красной Поляны ( $43^{\circ}41'$ с.ш., $40^{\circ}11'$ в.д.) точки земной поверхности. Атмосферой пренебрегите, Земля — шар.

Отговори

Решение

(А. Шепелев)

Решение: Введём обозначения координат: Санкт-Петербург ( $\varphi_1, \lambda_1$ ), Красная Поляна ( $\varphi_2, \lambda_2$ ).

Найдём расстояние $l$ от Санкт-Петербурга ( $C$ ) до Красной Поляны ( $K$ ) из теоремы косинусов для сферического треугольника $\triangle CKP$ , где $P$ — Северный полюс:

\cos l = \sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda \quad\Longrightarrow\quad l = 17.33^{\circ}. \qquad (27)

Сферический чертёж: северный полюс P, дуги 90° − φ₁ к точке C (Санкт-Петербург) и 90° − φ₂ к точке K (Красная Поляна), угол Δλ при P; большой круг g через C, O, K и C′ с дугой m от K до C′; большой круг h через середину O дуги CK (прямой угол при O) и точку E на экваторе с углом φ; меридиан K–K′ длины φ₂ с прямым углом при K′; угол ξ при K по обе стороны; угол i при C′; экватор e.

Обозначив угол $\angle CKP$ за $\xi$ , найдём его по теореме синусов для того же треугольника:

\frac{\cos\varphi_1}{\sin\xi} = \frac{\sin l}{\sin\Delta\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \xi = 16.74^{\circ}. \qquad (28)

Далее необходимо определить наклонение $i$ большого круга $g$ , содержащего дугу Санкт-Петербург – Красная Поляна к экватору ( $e$ ). Обозначим за $K'$ точку пересечения меридиана Красной Поляны с экватором, а за $C'$ — точку пересечения $g$ с экватором. Вычислим угол $i$ , используя теорему косинусов для углов в сферическом треугольнике $\triangle KK'C'$ :

\cos i = -\cos\xi\,\cancel{\cos 90^{\circ}}^{\,0} + \sin\xi\,\cancel{\sin 90^{\circ}}^{\,1}\cos\varphi_2 = \sin\xi\cos\varphi_2 \quad\Longrightarrow\quad i = 77.98^{\circ}. \qquad (29)

Вычислим длину $m$ дуги $KC'$ , используя теорему синусов для треугольника $\triangle KK'C'$ :

\frac{\sin\varphi_2}{\sin i} = \frac{\sin m}{\cancel{\sin 90^{\circ}}^{\,1}} \quad\Longrightarrow\quad m = 44.92^{\circ}. \qquad (30)

Все точки, равноудалённые от Санкт-Петербурга и Красной Поляны, лежат на большом круге $h$ , перпендикулярном $g$ и проходящем через середину $O$ дуги $CK$ . Аналогично (29) определим наклонение $\varphi$ большого круга $h$ к экватору:

\cos\varphi = \cos\left(m + \frac{l}{2}\right)\sin i \quad\Longrightarrow\quad \varphi = 54.51^{\circ}. \qquad (31)

Самая северная точка большого круга с наклонением $j$ к экватору имеет широту $j$ , следовательно, самая северная точка большого круга $h$ находится на широте $\varphi$ .

Перейдем к решению следующей подзадачи: нахождению азимута восхода звезды $\varepsilon$ CMa на широте $\varphi$ . Для этого вычислим часовой угол данной звезды в момент её восхода (см. параллактический треугольник):

\cancel{\cos z}^{\,0} = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos t \quad\Longrightarrow\quad t = 39.07^{\circ}. \qquad (32)

Поскольку речь идет об азимуте восхода, часовой угол

t' = 360^{\circ} - t = 320.93^{\circ}. \qquad (33)

Осталось применить теорему синусов, чтобы найти астрономический азимут восхода:

\frac{\cancel{\sin z}^{\,1}}{\sin t'} = \frac{\cos\delta}{\sin A} \quad\Longrightarrow\quad A = -33.47^{\circ}. \qquad (34)

Оригинал в Архива: Q_theory.pdf · официални решения: A_theory.pdf