Съдържание

ВсОА 2017, Летен сбор · практически тур (3 юли) — Задача 1. Двойная звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Летние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 3 июля 2017 г. Практический тур · 3 юли 2017 г.

Условие

Двойная звезда расположена в 173 пк от Солнца. Её компоненты расходятся друг от друга на угол 10 mas. В результате длительных наблюдений были получены зависимости гелиоцентрических лучевых скоростей компонентов этой двойной системы от времени (см. график). Определите массы компонентов по отдельности, считая, что они движутся по круговым орбитам.

График лучевых скоростей двух компонентов двойной звезды: по горизонтали Time [days] от 0 до 750, по вертикали Radial velocity [km/s] от −40 до 60. Чёрная кривая колеблется примерно от −6 до 30 км/с, синяя — примерно от −33 до 57 км/с, в противофазе; видно почти три периода. — Задача 1. Двойная звезда

Отговори

Решение

Решение: Используя график, определим значения следующих величин:

Лучевая скорость центра масс системы — 12 км/с (не ноль!)

Амплитуда лучевой скорости звезды 1 — $V_1^{\max} = 18$ км/с — чёрная кривая

Амплитуда лучевой скорости звезды 2 — $V_2^{\max} = 45$ км/с — синяя кривая

Период обращения системы — $P = 270$ сут.

Конструируем функцию масс для каждой из звезд (массы $M_1$ и $M_2$ ). Запишем уравнения, описывающие рассматриваемую систему: выражение для большой полуоси $a$ в виде суммы радиусов $r_1$ и $r_2$ орбит звёзд относительно центра масс; уравнение центра масс; третий закон Кеплера и зависимость величины наблюдаемой амплитуды скорости от наклона орбиты $i$ — угла между лучом зрения и нормалью к плоскости орбиты:

r_1 + r_2 = a; \qquad (1)

M_1 r_1 = M_2 r_2; \qquad (2)

\frac{a^3}{P^2} = \frac{G(M_1 + M_2)}{4\pi^2}; \qquad (3)

V_j^{\max} = \frac{2\pi r_j}{P} \sin i, \quad j = 1, 2. \qquad (4)

Наша цель — прийти к выражению, в котором останется наименьшее число неизвестных величин, но при этом наибольшее число величин, получаемых из наблюдений. Для этого выразим из (1) и (2) величину $r_1$ :

r_1 = \frac{M_2}{M_1 + M_2} a. \qquad (5)

Подставим полученное выражение в уравнение (4, $j = 1$ ) и возведём результат в куб:

\left(V_1^{\max}\right)^3 = \frac{8\pi^3}{P^3} \sin^3 i \left(\frac{M_2}{M_1 + M_2}\right)^3 a^3. \qquad (6)

Куб большой полуоси можно выразить из третьего закона Кеплера (3). Итоговое выражение перепишем, оставив неизвестные величины в левой части, получив функцию масс, определяемую по данным, относящимся к движению звезды 1:

f_1(M) \equiv \frac{M_2^3 \sin^3 i}{(M_1 + M_2)^2} = \frac{P \left(V_1^{\max}\right)^3}{2\pi G}. \qquad (7)

Замечание. Данная функция позволяет оценить «снизу» массы компонентов системы. В самом деле,

\frac{f_1(M)}{M_2} = \left(\frac{M_2}{M_1 + M_2}\right)^2 \sin^3 i \leqslant 1 \quad \Longrightarrow \quad M_2 \geqslant f_1(M). \qquad (8)

Таким образом, $M_2 \geqslant 0.16M_\odot$ . Аналогичными рассуждениями придём к оценке $M_1 \geqslant 2.6M_\odot$ .

По известному расстоянию до системы и максимальному угловому разделению компонентов находим большую полуось $a = 1.73$ а.е., откуда с помощью соотношения (3) получим и суммарную массу системы: $M_{\mathrm{total}} \equiv M_1 + M_2 = 9.5M_\odot$ .

Теперь можно определить наклон орбиты $i$ . Запишем выражение (7) в виде

M_2 \sin i = \sqrt[3]{f_1(M) M_{\mathrm{total}}^2}, \qquad (9)

(M_1 + M_2) \sin i = \sqrt[3]{f_1(M) M_{\mathrm{total}}^2} + \sqrt[3]{f_2(M) M_{\mathrm{total}}^2} \quad \Longrightarrow \quad \sin i = \frac{\sqrt[3]{f_1(M)} + \sqrt[3]{f_2(M)}}{\sqrt[3]{M_{\mathrm{total}}}} = 0.90. \qquad (10)

Функция масс (7) с учётом известного значения $\sin i$ позволяет получить искомые массы звёзд:

M_1 = 6.8M_\odot;

M_2 = 2.7M_\odot.

Оригинал в Архива: Q_prac.pdf · официални решения: A_prac.pdf