Съдържание

ВсОА 2017, Летен сбор · теория (6 юли) — Задача 11. AstroSat

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Летние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 6 июля 2017 г. Теоретический тур · 6 юли 2017 г. · 50 т.

Условие

На индийском астрономическом спутнике AstroSat, запущенном в сентябре 2015 года, есть 5 различных инструментов. В данной задаче мы будем обсуждать 3 из них: SXT, LAXPC и CZTI. Эти инструменты наблюдают в рентгеновском диапазоне и имеют общее поле.

Инструмент	Полоса (кэВ)	Площадь (м $^2$ )	Квантовая эффект-ть	Уровень насыщения (отсчёты)	Число пикселей
SXT	$0.3 \div 8.0$	0.067	60%	15000 всего	$512 \times 512$
LAXPC	$3 \div 80^{*}$	1.5	40%	50000 в любом из 8 счётчиков или 200000 всего	—
CZTI	$10 \div 150$	0.09	50%	—	$4 \times 4096$

Схематическое изображение спутника AstroSat с двумя панелями солнечных батарей и подписанными инструментами: UVIT: Ultra Violet Imaging Telescope; LAXPC: Large Area X-ray Proportional Counter; CZTI: Cadmium Zinc Telluride Imager; SXT: Soft X-ray Telescope; SSM: Scanning Sky Monitor.

$^{*}$ Энергетический диапазон LAXPC распределён на 8 счётчиков с равной шириной полос без перекрытия.

Пусть спутник наблюдает точечный рентгеновский источник, энергетический спектр которого имеет степенной характер: спектральная плотность потока фотонов с энергией $E$

F(E) = KE^{-2/3}.

Из наблюдений известно, что $F(1\ \text{кэВ}) = 10\ \text{фотонов}/(\text{кэВ}\cdot\text{м}^2\cdot\text{с})$ .

1. Найдите спектральные плотности потока фотонов с энергиями 1 кэВ, 5 кэВ, 40 кэВ и 100 кэВ для данного источника. Для каждой плотности потока рассчитайте полное число отсчётов в единичном интервале энергий, зафиксированное каждым из инструментов за время экспозиции $t = 200$ с.

2. Вычислите для наблюдаемого источника максимальное время экспозиции $t_S$ , при котором не достигается насыщение матрицы SXT.

3. Предположив, что источник стал в 3500 раз ярче, вычислите ожидаемое полное число отсчётов в секунду на счётчиках 1 и 8 LAXPC. Что окажется причиной насыщения при длительной экспозиции: переполнение какого-либо отдельного счётчика или общее по всем счётчикам?

4. Источник считается зарегистрированным, если отношение «сигнал/шум» $\mathsf{SNR} \geqslant 3$ . Известно, что среднеквадратическая погрешность отсчётов CZTI вследствие случайных флуктуаций составляет $0.00014\ \text{отсчёт}/(\text{с}\cdot\text{кэВ}\cdot\text{пиксель})$ . Каково минимальное время накопления $t_c$ , необходимое для регистрации всё того же источника на CZTI?

5. Представим себе, что наш источник демонстрирует переменность, при которой коэффициент $K$ «скачком» возрастает на 20%. AstroSat наблюдал источник в течение 1 c до изменения яркости и 1 c после него. Вычислите количество отсчётов, измеренное каждым из инструментов в обоих наблюдениях. Какой инструмент наилучшим образом подходит для регистрации подобных изменений?

6. У некоторых рентгеновских источников, таких, как Cas A, наблюдается линия излучения, соответствующая радиоактивному распаду ${}^{44}\mathrm{Ti}$ , с длиной волны 0.01825 нм. Представим себе, что существует источник, который излучает только одну яркую линию, соответствующую этому распаду. Какова должна быть минимальная (по модулю) лучевая скорость $v$ такого источника, чтобы регистрируемая линия и линия лабораторного источника соответствовали различным счётчикам LAXPC?

Отговори

Решение

(J.S. Bagla @IOAA–2016, пер. М. Костина, ред. И. Утешев)

Решение:

$\boxed{1}$ Проведём вычисления для детектора с площадью $A$ и квантовой эффективностью $\alpha$ . Число отсчётов в единичном интервале энергий за время $t$ есть

C_{\alpha,A}(E) = F(E)\cdot\alpha A\cdot t = Kt\cdot\alpha A\cdot E^{-2/3}, \qquad (51)

где по условию коэффициент $K = 10\ \text{отсчётов}/(\text{кэВ}\cdot\text{м}^2\cdot\text{с})$ . Результаты расчётов занесём в таблицу:

Энергия (кэВ)	Плотность потока (у.е.)	SXT	LAXPC	CZTI
1	10	80	—	—
5	3.42	27	410	—
40	0.86	—	103	8
100	0.46	—	—	4

$\boxed{2}$ Плотность потока фотонов с энергиями $E \in [E_1; E_2]$

G(E_1, E_2) = \int\limits_{E_1}^{E_2} F(E)\,dE = 3K\left(E_2^{1/3} - E_1^{1/3}\right), \qquad (52)

поэтому число отсчётов, фиксируемых SXT за секунду

C_0 = \alpha A\,G\left(E_{\min}^{\mathrm{SXT}}, E_{\max}^{\mathrm{SXT}}\right) = 1.605\ \text{отсчётов/с}, \qquad (53)

t_S = \frac{C_{\max}^{\mathrm{SXT}}}{C_0} = \frac{15000}{1.605} \simeq 9350\ \text{с}. \qquad (54)

$\boxed{3}$ Полоса каждого из восьми счётчиков LAXPC имеет ширину 9.625 кэВ. Расчёт производим аналогично п. 2. Быстрее всего наступит насыщение счётчика 1:

Счётчик	$E_{\mathrm{min}}$ (кэВ)	$E_{\mathrm{max}}$ (кэВ)	Отсчёты/с $\times 10^3$
1	3.0	12.625	55.8
8	70.375	80.0	11.4
Всего	3.0	80.0	180.6

$\boxed{4}$ Рассчитаем число отсчётов от источника и шум на CZTI, а затем наложим условие на их отношение ( $\mathsf{SNR} \geqslant 3$ ), помня о том, что матожидание сигнала $s$ линейно зависит от времени накопления, а среднеквадратическое отклонение пропорционально $\sqrt{t}$ :

\mathsf{E}\{s\}_0 = 3K\left(E_{\max}^{1/3} - E_{\min}^{1/3}\right)\alpha A \simeq 4.26\ \text{отсчётов/с}, \qquad (55)

\sigma\{s\}_0 = 0.00014\cdot(E_{\max} - E_{\min})\cdot(4\times 4096) \simeq 321\ \text{отсчёт/с}; \qquad (56)

\mathsf{SNR}(t) = \frac{\mathsf{E}\{s\}}{\sigma\{s\}} = \frac{\mathsf{E}\{s\}_0\cdot t/t_0}{\sigma\{s\}_0\sqrt{t/t_0}} = \frac{\mathsf{E}\{s\}_0}{\sigma\{s\}_0}\sqrt{\frac{t}{t_0}}, \qquad (57)

\mathsf{SNR}(t_c) = 3 \quad\Longrightarrow\quad t_c \approx 51\cdot 10^3\ \text{с}. \qquad (58)

Замечание. Соотношение $\mathsf{SNR} \propto \sqrt{t}$ можно использовать без доказательства.

$\boxed{5}$ Расчёты выполняются аналогично п.п. 2–3. Лучше всего подходит LAXPC:

Инструмент	Число отсчётов до	Число отсчётов после
SXT	$1.60 \simeq 2$	$1.93 \simeq 2$
LAXPC	$51.60 \simeq \mathbf{52}$	$61.92 \simeq \mathbf{62}$
CZTI	$4.26 \simeq 4$	$5.11 \simeq 5$

$\boxed{6}$ Линии $\lambda = 18.25$ пм соответствует энергия

E_{\text{лаб}} = \frac{hc}{\lambda e} = 67.95\ \text{кэВ}. \qquad (59)

Фотоны с такой энергией регистрируются счётчиком 7. Чтобы попасть в полосу счётчика 6, энергия фотонов должна стать меньше 60.75 кэВ, для счётчика 8 — больше 70.375 кэВ. Очевидно, для минимальности модуля лучевой скорости должен реализовываться второй вариант (источник приближается):

\lambda' = \frac{hc}{E'e} = 17.62\ \text{пм}, \qquad (60)

v = \left(1 - \frac{\lambda'}{\lambda}\right)c \simeq 10.4\cdot 10^3\ \text{км/с}. \qquad (61)

Оригинал в Архива: Q_theor.pdf · официални решения: A_theor.pdf