Съдържание

ВсОА 2017, Летен сбор · теория (6 юли) — Задача 10. Солнышко

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Летние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 6 июля 2017 г. Теоретический тур · 6 юли 2017 г. · 50 т.

Условие

1. Одна из ранних гипотез об источнике энергии Солнца гласила, что оно светит из-за астероидов, прилетающих на его поверхность. На значительном удалении от Солнца сферические астероиды массой $m$ каждый распределены в пространстве равномерно с концентрацией $n$ , их скорости равномерно распределены на промежутке $[v_1; v_2]$ и сонаправлены.

Оцените установившуюся светимость Солнца, считая, что высвечивается вся кинетическая энергия аккрецируемых объектов; $v_1$ и $v_2$ — первая и вторая космические скорости для Солнца. Выразите ответ через $m$ , $n$ , $M_\odot$ , $R_\odot$ и физические постоянные.

2. Теория термоядерного синтеза долго не получала признания, поскольку в рамках классической физики температура на Солнце недостаточно велика для протекания термоядерных реакций. Оцените температуру, при которой возможно сближение двух протонов на расстояние порядка ядерного.

3. Положим радиус ядра Солнца равным $0.3R_\odot$ . Мощность энерговыделения единицы объёма ядра $q$ , плотность потока энергии пропорциональна градиенту температуры:

F = -\kappa\frac{dT}{dr}, \quad \kappa > 0.

Найдите температуру $T_1$ на границе ядра, если в центре Солнца она составляет $T_0$ .

4. Ядро окружает зона лучистого переноса, простирающаяся от $0.3R_\odot$ до $0.7R_\odot$ . В этой зоне уже не идут ядерные реакции, не происходит переноса вещества. Найдите температуру $T_2$ на границе зоны лучистого переноса.

5. Томсоновское рассеяние на свободном электроне является самым распространённым типом рассеяния фотонов в недрах Солнца, его эффективное сечение $\sigma \simeq 7\cdot 10^{-29}\ \text{м}^2$ . Рассчитайте характерную длину свободного пробега фотона в солнечном веществе, считая концентрацию электронов $n_e$ не зависящей от глубины.

6. Вследствие многократных рассеяний путь фотона выглядит как случайное блуждание. Оцените время, за которое фотон, рождённый в центре Солнца, достигнет поверхности.

Отговори

Решение

(И. Маркозов, И. Утешев)

Решение:

$\boxed{1}$ Найдем число астероидов, падающих на Солнце за единицу времени, имеющих «на бесконечности» скорость в интервале от $v$ до $v + dv$ . Определим радиус сечения захвата:

\begin{cases}\text{ЗСМИ}: & vr = uR_\odot,\\ \text{ЗСЭ}: & \dfrac{v^2}{2} = \dfrac{u^2}{2} - \dfrac{GM_\odot}{R_\odot}.\end{cases} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{R_\odot}{v}\sqrt{v + \frac{2GM_\odot}{R_\odot}}. \qquad (40)

Тогда темп аккреции $N_v$ астероидов с такими скоростями

N_v = \pi r^2 v\,dn_v = \pi r^2 v\cdot\frac{n\,dv}{v_2 - v_1}, \qquad (41)

а соответствующая мощность

dL_v = \frac{1}{2}mu^2\cdot N_v = \frac{mv^2r^2}{2R_\odot^2}\pi r^2 v\cdot\frac{n\,dv}{v_2 - v_1} = \frac{\pi m n R_\odot^2}{2(v_2 - v_1)}\left(v + \frac{2GM_\odot}{R_\odot}\right)^2\frac{dv}{v}. \qquad (42)

Введя обозначения $A \equiv \sqrt{\dfrac{2GM_\odot}{R_\odot}}$ , $B \equiv \dfrac{\pi m n R_\odot^2}{2(v_2 - v_1)}$ , получим

L = \int dL_v = B\int\limits_{\frac{A}{\sqrt{2}}}^{A}\frac{(v + A)^2}{v}\,dv = \frac{B}{4}\left(9 - 4\sqrt{2} + \ln 4\right)A^2. \qquad (43)

$\boxed{2}$ Для сближения протонов на расстояние порядка $l_c \sim 10^{-15}$ м — ядерного масштаба — требуется действительно высокая температура. Для оценки сравним кулоновскую энергию с тепловой:

\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 l_c} \sim k_BT_c \quad\Longrightarrow\quad T_c \sim 10^{10}\ \text{К}. \qquad (44)

$\boxed{3}$ Рассмотрим тонкую шаровую оболочку радиуса $r < 0.3R_\odot$ и толщиной $dr$ и запишем условие её теплового равновесия (мощность энерговыделения равна мощности теплоотвода):

\frac{4\pi}{3}r^3\cdot q = -4\pi r^2\cdot\kappa\frac{dT}{dr}, \qquad (45)

dT = -\frac{q}{3\kappa}r\,dr \quad\Longrightarrow\quad T_1 = T_0 - \frac{q}{3\kappa}\frac{(0.3R_\odot)^2}{2} = T_0 - \frac{3qR_\odot^2}{200\kappa}. \qquad (46)

$\boxed{4}$ В зоне лучистого переноса поток энергии через сферические слои этой зоны сохраняется и обусловлен излучением. Тогда с учётом закона Стефана–Больцмана

T_1^4R_1^2 = T_2^4R_2^2 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = T_1\sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{3}{7}}\left(T_0 - \frac{3qR_\odot^2}{200\kappa}\right). \qquad (47)

$\boxed{5}$ Длина свободного пробега $\lambda$ определяется математическим ожиданием одного взаимодействия при её прохождении:

\lambda\sigma n_e \sim 1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda \simeq \frac{1}{n_e\sigma} \simeq \frac{4\pi m_pR_\odot^3}{3\sigma M_\odot} \simeq 2\cdot 10^{-2}\ \text{м}. \qquad (48)

$\boxed{6}$ Усредняя перемещение фотона после $n$ рассеяний ( $n \gg 1$ ), приходим к соотношению

\overline{\mathbf{S}^2} = \overline{(\mathbf{s}_1 + \dots + \mathbf{s}_n)^2} = \overline{\mathbf{s}_1^2} + \dots + \overline{\mathbf{s}_n^2} + \overset{0}{\cancel{\sum_{i\neq j}\overline{(\mathbf{s}_i, \mathbf{s}_j)}}} = n\lambda^2, \qquad (49)

то есть перемещение фотона $S \propto \sqrt{n}$ . Искомое время

t = n\cdot\frac{\lambda}{c} = \frac{R_\odot^2}{\lambda c} \approx 10^{10}\ \text{с} \approx 10^3\ \text{лет}. \qquad (50)

Замечание. Полученная оценка является несколько заниженной. В действительности, конечно, томсоновский механизм реализуется в глубоких слоях Солнца, где концентрация электронов существенно выше средней, а при более низких температурах возможны более эффективные взаимодействия с веществом.

Оригинал в Архива: Q_theor.pdf · официални решения: A_theor.pdf