Съдържание

ВсОА 2017, Летен сбор · теория (6 юли) — Задача 8. Yellowknives

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2017

Летние учебно-тренировочные сборы по астрономии. 6 июля 2017 г. Теоретический тур · 6 юли 2017 г. · 25 т.

Условие

Ходят легенды, что в исчезнувшем племени Йеллоунайф существовал древний обычай: в момент, когда часовой угол Солнца составлял $13^h29^m$ , а ярчайшая звезда осеннего неба Альдебаран ( $4^h36^m; +16^{\circ}31'$ ) пересекала небесный меридиан, главный жрец племени обращал свой взор на путеводную звезду — Полярную, в направлении которой небо озарялось разноцветными лентами, парящими в небе. Увидев ленты, согласно древнему поверью, жрец запускал священные часы, отсчитывающие ровно 111 звёздных суток, по истечении которых члены племени должны увидеть первые талые воды. Эти часы отстают с ходом $\pi\cdot 10^{-3}$ .

Определите, во сколько по истинному солнечному времени и в какую дату йеллоунайфцы услышали бы первую капель в 2018 году. Уравнение времени $\eta$ (в минутах) связано с прямым восхождением $\alpha_\odot$ среднего Солнца соотношением

\eta = 7.53\cos\alpha_\odot + 1.5\sin\alpha_\odot - 9.87\sin 2\alpha_\odot.

В 2017 году астрономическая весна наступила 20 марта в 10:28 по местному времени. Продолжительность тропического года примите равной $T_\oplus = 365.242374$ сут.

Отговори

Решение

(А. Шепелев, ред. И. Утешев)

Решение: В момент пересечения Альдебараном небесного меридиана его часовой угол составляет $t_1 = 12^h$ (нижняя кульминация) или $t_2 = 0^h$ (верхняя кульминация).

Прямое восхождение среднего Солнца линейно растёт со временем (с точностью до целого числа оборотов):

\alpha_\odot = \frac{t - \text{☊}}{T_\oplus}\cdot 360^{\circ}, \qquad (31)

где $(t - \text{☊})$ — время, прошедшее с момента весеннего равноденствия.

Звёздное время есть сумма часового угла и прямого восхождения светила:

s = \alpha + t. \qquad (32)

Нетрудно рассчитать прямое восхождение Солнца в первом случае: $\alpha_1 = 3^h07^m$ . Заметим, через сотню дней прямое восхождение Солнца составит около $12^h$ , а осенью, очевидно, не может быть никакой капели в северном (видна Полярная звезда) полушарии.

Аналогично, во втором случае $\alpha_2 = 4^h36^m - 13^h29^m + 24^h = 15^h07^m$ . Поскольку уравнение времени определено как разность среднего и истинного солнечного времени ( $\eta \equiv \text{ССВ} - \text{ИСВ} = \alpha_2 - \alpha_0$ ),

\alpha_2 - \eta(\alpha_0) = \alpha_0, \qquad (33)

Решим это уравнение методом последовательных приближений: $\alpha_0 = 15^h22.95^m$ , откуда время с начала 2017 года есть

\tau_0 = \frac{\alpha_0}{24^h}T_\oplus + (31 + 28 + 19)\ \text{сут.} + 628\ \text{мин} = 450048\ \text{мин} \simeq 312.534\ \text{сут.} \qquad (34)

Ожидание продлится

\tau_1 = \frac{111\times 23^h56^m04^s}{1 - \pi\cdot 10^{-3}} = 159906\ \text{мин} \simeq 111.05\ \text{сут.} \qquad (35)

От начала 2018 года по среднему солнечному времени пройдет

T = \tau_0 + \tau_1 - 365\ \text{сут.} = 84354\ \text{мин} \hookrightarrow 28\ \text{февраля}\ 14{:}01. \qquad (36)

Поскольку $\eta(T) \simeq 14$ мин, жители племени услышали бы первую капель 28 февраля в 13:47.

Оригинал в Архива: Q_theor.pdf · официални решения: A_theor.pdf