ВсОА 2021, Сбор 1 · теория — Задача 6. Туннельный эффект

Q21S1T · 20 т.

Условие

Рассмотрим уравнение первой реакции протон-протонного цикла, протекающей в ядре Солнца при температуре TS≈15⋅106 KT_S \approx 15 \cdot 10^6\ \mathrm{K}:

p++p+→2H++e++νe.p^+ + p^+ \rightarrow {}^2\mathrm{H}^+ + e^+ + \nu_e.

Для простоты будем считать, что для протекания реакции протонам необходимо сблизиться на расстояние r0≈10−15 мr_0 \approx 10^{-15}\ \mathrm{м}, после чего между ними «включается» сильное взаимодействие.

Слиянию протонов способствует квантовомеханический туннельный эффект. Частица может преодолеть потенциальный барьер — область, в которой потенциальная энергия Π(r)\Pi(r) превышает полную энергию EE частицы — с вероятностью

P≈exp⁡(−2ℏ∫2m[Π(r)−E] dr).P \approx \exp\left(-\frac{2}{\hbar}\int \sqrt{2m\left[\Pi(r) - E\right]}\, dr\right).

Подсказка: ∫0a1x−1a dx=π2a.\displaystyle\int_0^a \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{a}}\, dx = \frac{\pi}{2}\sqrt{a}.

6.1. Исходя из классических представлений о взаимодействии протонов, оцените минимальную температуру TCT_C, при которой возможна указанная реакция. Сравните TCT_C с TST_S.

6.2. Найдите выражение для вероятности P(v)P(v) туннелирования при лобовом столкновении двух протонов, имеющих в системе центра масс скорость vv.

6.3. Выразите PP через vv, cc и постоянную тонкой структуры α\alpha.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: Q21S1T.pdf