ВсОА 2021, Сбор 2 · теория — Задача 11. Фотонная ракета

Q21S2T · 40 т.

Условие

При рассмотрении релятивистского движения бывает удобно ввести параметр «быстрота» ($\vartheta$), который связан со скоростью $v$ материальной точки соотношением

где $\tanh$ — гиперболический тангенс. Заметим, что при любых быстротах $\vartheta \in \mathbb{R} \equiv (-\infty; +\infty)$ скорость $v \in (-c; +c)$, что физически обоснованно.

11.1. Покажите, что закон сложения быстрот имеет линейный вид («быстрота аддитивна»):

11.2. Выразите импульс $p$ материальной точки через её массу $m$ и быстроту $\vartheta$.

Рассмотрим реактивное движение ракеты. В собственной системе отсчёта ракета выбрасывает топливо с постоянными темпом $\mu \equiv -\dfrac{dm}{dt_0}$ ($t_0$ — собственное время ракеты) и относительной скоростью $\vec{u}$.

11.3. Запишите уравнение, связывающее скорость изменения импульса ракеты $\dfrac{dp}{dt_0}$ в мгновенно сопутствующей системе отсчёта с величинами, характеризующими тягу двигателя ($\mu$ и $u$).

11.4. Получите дифференциальное уравнение, связывающее изменение быстроты ракеты $d\vartheta$ с изменением её массы $dm$.

Подсказка. $\sinh x \approx x$ при $|x| \ll 1$.

11.5. Получите релятивистскую формулу Циолковского, исходя из предположения, что исходная скорость ракеты $v_0 = 0$, а движение ракеты одномерное.

11.6. Упростите результат в предположении $u = c$ (фотонная ракета). Итоговое выражение должно содержать только конечное количество арифметических операций.

Подсказка. $\sinh x \equiv \dfrac{1}{2}(e^x - e^{-x})$, $\cosh x \equiv \dfrac{1}{2}(e^x + e^{-x})$.

Решение

---

Оригинал в Архива: Q21S2T.pdf