ВсОА 2021, Сбор 2 · теория — Задача 12. Тёмная тема

Q21S2T · 40 т.

Условие

Рассмотрим модельную шаровую галактику, состоящую из звёзд (массой которых можно пренебречь), межзвёздного газа и тёмной материи. Кривая вращения этой галактики имеет вид

vrot(r)={v0⋅rr0,r⩽r0,v0,r>r0,v_{\mathrm{rot}}(r) = \begin{cases} v_0 \cdot \dfrac{r}{r_0}, & r \leqslant r_0, \\ v_0, & r > r_0, \end{cases}

где rr — расстояние до центра галактики.

12.1. Запишите выражение для гравитационной массы M(r)M(r), заключённой внутри сферы радиуса rr.

Состояние газа в приближении его идеальности описывается двумя параметрами: плотностью ρ(r)\rho(r) и температурой T(r)T(r).

12.2. Выразите градиент[^3] давления газа ∇P(r⃗)\nabla P(\vec{r}) через M(r)M(r), ρ(r)\rho(r) и r⃗\vec{r}.

[^3]: Примечание для младших участников: градиентом ∇φ\nabla\varphi называется вектор, указывающий по направлению наибольшего возрастания скалярной физической величины φ\varphi, равный по модулю скорости роста этой величины в этом направлении dφ/dsd\varphi/ds.

12.3. Теперь найдите выражение для M(r)M(r), если известны ρ(r)\rho(r) и T(r)T(r).

Предположим, что межзвёздный газ изотермический: T(r)≡T0=constT(r) \equiv T_0 = \mathrm{const}, а распределение его плотности имеет вид

ρ(r)=ρ1⋅r13(r+r1)2⋅r,\rho(r) = \rho_1 \cdot \frac{r_1^3}{(r+r_1)^2 \cdot r},

где ρ1\rho_1 и r1r_1 — некоторые константы соответствующих размерностей.

12.4. Найдите распределение плотности тёмной материи в рассматриваемой галактике.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: Q21S2T.pdf