ВсОА 2022, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.3. Миссия спасения I

XXIX Всероссийская олимпиада по астрономии. Заключительный этап. Самара, 20-26 марта 2022 г. БАЗОВЫЙ ТУР · 20 март 2022 г.

Условие

Астрономы открыли астероид, движущийся в плоскости эклиптики. Большая полуось орбиты оказалась равна 1.200 а.е., ее эксцентриситет 0.200. Радиус астероида был равен 400 метрам, и его дальнейшие наблюдения показали, что он представляет серьезную опасность для Земли. Чтобы ни сам астероид, ни его крупные осколки не упали на Землю, на астероид доставили несколько мощных ядерных зарядов. В момент, когда он располагался в перигелии своей орбиты, их одновременно подорвали. Астероид был полностью разрушен, превратившись в шарообразное облако мелких пылинок, однородно распределенных внутри объема шара. Ровно через сутки после взрыва облако пылинок совпало по положению на небе и видимым с Земли размерам с Солнцем, ослабив его яркость в центре диска на 10%. Было известно, что:

1. Заряды были расположены на астероиде симметрично, что обеспечило изотропный взрыв, при котором центр масс астероида не изменил свою скорость;
2. Плотность астероида и его осколков составляла 2 г/см$^3$, пылинки сферические и черные. Вся изначальная масса астероида содержалась в пылинках, причем мелких пылинок было больше, чем крупных: количество пылинок с радиусами от $r$ до $r + \Delta r$ ($\Delta r \ll r$) пропорционально $\Delta r/r^2$, где $0 < r < r_{\mathrm{M}}$. Это свойство одинаково во всех частях облака.

Определите:

1) Максимальный радиус пылинок $r_{\mathrm{M}}$;

2) Долю массы астероида, которая в итоге покинет Солнечную систему.

Взаимодействием пылинок с планетами (в том числе с Землей) пренебречь. Волновые эффекты при взаимодействии пылинок с излучением не учитывать, считая, что они задерживают свет по законам геометрической оптики. Орбиту Земли считать круговой.

Решение

Оригинал в Архива: prob2022base.pdf