Съдържание

ВсОА 2023, Сбор 1 · теория — Задача 6. Биполярочка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2023

Q23S1T

Внимание: Бележка към темата

Официално решение не е налично в източника.

Условие

Биполярную систему координат на плоскости вводят так. Пусть заданы фокусы $F_1$ и $F_2$ . Тогда положение точки $P$ однозначно определяется набором координат

\tau = \ln \frac{|F_1P|}{|F_2P|} \in (-\infty, +\infty),

\sigma = \angle F_1PF_2 \in (-\pi, \pi].

a. Что из себя представляют кривые $\tau = \text{const}$ и $\sigma = \text{const}$ ?

b. Рассмотрим эллипс с фокусами в точках $F_1$ и $F_2$ . Запишите уравнения, которые задают кривую на плоскости $(\tau;\sigma)$ , соответствующую биполярным координатам точек эллипса с эксцентриситетом $e$ .

Подсказка. Подумайте над удобной, симметричной параметризацией этой кривой.

c. Изобразите качественно вышеописанную кривую. Ответ объясните.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: Q23S1T.pdf