ВсОА 2023, Заключителен етап — Задача 9.8. Фазовая диаграмма

Решение

На диаграмме мы видим, что у объекта B существуют два разных положения, при котором его фаза равна единице. Из этого следует, что объект B является внешним по отношению к объекту A. В этих двух положениях объект B имеет угловую скорость, отличающуюся по знаку, то есть в одном случае объект движется среди звезд прямым движением, а в другом – попятным. При этом максимальная угловая скорость при прямом движении больше максимальной угловой скорости при попятном движении. Это указывает на то, что объекты вращаются вокруг Солнца в одном направлении.

В определенный момент фаза объекта B достигает минимума, равного $F_M$ = 0.924. Минимум фазы означает максимум угла γ с вершиной в объекте B, образованного направлениями на Солнце и объект А. Этот же угол есть максимальная элонгация объекта A при наблюдении с объекта B. Нарисуем соответствующее положение объекта B на орбите. Фаза объекта B в этом случае равна

Отсюда мы получаем

Обратимся теперь к данным об угловых скоростях. В момент наименьшей фазы объекта B его видимая угловая скорость направлена в ту же сторону, что и Солнце, и имеет положительный знак на графике. Она положительна и в момент 1, соответствующий соединению планеты B с Солнцем при наблюдении с планеты A. Ее численное значение составляет +0.13°/сут, и она выражается через пространственные скорости как

По условию задачи, орбиты планет круговые, поэтому мы можем подставить сюда выражения для круговых скоростей:

Далее имеем:

Здесь M – масса Солнца, $r_0$ – радиус орбиты Земли, $\omega_0$ – угловая скорость орбитального движения Земли (0.986°/сутки). Отсюда мы получаем значение радиуса орбиты объекта B:

Радиус орбиты тела B равен 5.2 а.е., радиус орбиты тела A равен $Kr_B$ = 2.75 а.е. Очевидно, проводились наблюдения Юпитера с астероида главного пояса.

К тому же выводу мы могли прийти на основе анализа отрицательной угловой скорости объекта B в противостоянии (положение 2)

или в момент квадратуры (положение M)

Последнее соотношение можно легко получить, учитывая, что в этот момент объект A находится в наибольшей элонгации при наблюдении с объекта B, то есть движется по небу с одинаковой угловой скоростью с Солнцем. А эта угловая скорость равна угловой скорости вращения объекта B по орбите. Получается, что мы могли полностью решить задачу, сняв с графика данные всего одной точки – M.

Система оценивания

При проверке решения жюри нужно обратить внимание, что оно может быть выполнено множеством способов. Выше предложен лишь один из них, причем и для него, как мы видим, радиус орбиты одного из объектов может быть определен по угловой скорости в одном из трех различных положений. Более того, участники могут вообще не принимать во внимание данные о фазе объекта B и найти радиусы орбит по данным об угловой скорости в двух положениях (1 и 2, либо 1 и M, либо 2 и M). Все эти способы предполагают определение из графика двух параметров – либо фазы и угловой скорости в точке M, либо угловой скорости в двух точках. Это определяет разделение решения на один вводный и два основных этапа, а также финальный вывод. При этом, сами этапы могут выглядеть по-разному. Далее приведено описание этапов при использовании способа решения, приведенного выше.

1 этап – 1 балл. Обоснование, что объекты движутся по орбитам в одном направлении. Он может быть сделан на основе модулей прямой и попятной угловой скорости в моменты, когда фаза обращается в единицу. Участник может не делать этот вывод, но тогда ему необходимо рассматривать случай противоположных направлений вращения по ходу дальнейшего решения, доказывая, что его не может быть в данных условиях. Если участник сразу рассматривает только сонаправленное вращение двух тел, не обосновывая такой выбор – данный 1 балл не выставляется, последующие оцениваются в полной мере.

2 этап – 5 баллов. Определение соотношения радиусов орбит двух орбит $r_A/r_B$. Если это делается на основе данных о фазе, должна быть использована абсцисса точки M. Требуемая точность высокая (0.005), так как данное соотношение очень плавно зависит от измеренного значения фазы, и даже если взять фазу, равную 0.92 (край диаграммы), что заведомо неверно, то итоговая погрешность чуть превысит 0.01. Если участник определяет обратную величину $r_A/r_B$, равную 1.887, то требуемая точность составляет 0.01. При превышении погрешности оценка уменьшается на 1 балл за каждую кратность превышения сверх единицы. Участник может вообще не определять эту величину численно, а подставлять ее выражение в общем виде в дальнейшие вычисления. В этом случае оценка определяется правильностью выражения.

Вероятная ошибка участника: минимум фазы связывается с взаимным положением планет, при котором разница их орбитальных долгот равна 90°. Тогда соотношение радиусов орбит получается равным 0.625. Оценка за этап составляет 1 балл при условии верного вычисления, последующие этапы оцениваются в полной мере.

3 этап – 5 баллов. Построение выражения для радиуса орбиты одного из тел на основе данных об угловой скорости. Оценка определяется правильностью используемой формулы. При возникновении качественных недочетов (путаница в знаках и т.д.) оценка за весь этап не может превышать 1 балла.

4 этап – 4 балла (2 + 2). Вычисление радиусов орбит обоих тел, точность составляет 0.05 а.е. для тела A и 0.1 а.е. для тела B. Если погрешность не превышает двукратную от заданной, за соответствующий подэтап выставляется 1 балл.