ВсОА 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.3. Далекое небо

XXXI Всероссийская олимпиада по астрономии. Заключительный этап. Москва, 29 марта — 4 апреля 2024 г. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР · 29 март 2024 г.

Условие

В рамках программы поиска обитаемых миров космический аппарат будущего совершил посадку на некоторую планету около звезды сферической формы и измерил физические характеристики планетной атмосферы. Оказалось, что ее вертикальная оптическая толщина равна $\tau$, а показатель преломления воздуха у поверхности – $n$. Определите зависимость полной звездной величины звезды $m$ и ее поверхностной звездной величины (с квадратной секунды) $\mu$ от видимого зенитного расстояния центра звезды $z$, если в зените эти величины составляли $m_0$ и $\mu_0$ соответственно.

При решении рассмотрите положения звезды достаточно высоко над горизонтом, когда не нужно принимать в расчет кривизну поверхности планеты, и атмосфера считается состоящей из плоскопараллельных слоев. Считайте, что $\tau \ll 1$ и $(n - 1) \ll 1$, обе величины не зависят от длины волны, однако взаимное соотношение между ними может быть любым. Ответ нужно получить с точностью до слагаемых порядка $\tau^1$ и $(n - 1)^1$. Отражением света от атмосферных слоев пренебречь, угловой диаметр звезды в небе считать малым.

Решение

---

Оригинал в Архива: prob2024teor.pdf