ВсОА 2024, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11.6. Множество миров

XXXI Всероссийская олимпиада по астрономии. Заключительный этап. Москва, 29 марта — 4 апреля 2024 г. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР · 29 март 2024 г.

Условие

Предположим, мы оказались внутри крупной системы из большого числа звезд главной последовательности. Вокруг каждой звезды по круговой орбите с радиусом $l$ движется по одной планете с радиусом $r$, все планеты одинаковы. Большая сеть одинаковых наземных телескопов на разных широтах Земли провела длительную серию измерений всех доступных им звезд, проницающая способность телескопа (болометрическая звездная величина) равна $m$. Приборы позволяют фиксировать относительное изменение яркости звезды $\Delta J/J$, не меньшее фиксированной величины $\eta \ll 1$. Планеты существенно меньше звезд по размерам и массе, оси орбит планет ориентированы в пространстве хаотично.

Звезды в пределах возможности наблюдения телескопов расположены однородно, объемная концентрация звезд с массами от $M$ до $M+dM$ соответствует функции Солпитера $dn = n_0(M/M_0)^{-\alpha}dM/M_0$. Для этих звезд выполняется соотношение «масса – светимость» $(L/L_0) = (M/M_0)^4$ и «масса – радиус» $(R/R_0) = (M/M_0)$. Индекс «0» в этих случаях соответствует Солнцу. Минимальная масса звезды равна $M_{\mathrm{M}}$. Все характеристики Солнца ($R_0$, $M_0$, абсолютная болометрическая звездная величина $m_0$) заданы. Межзвездным и атмосферным поглощением света, потемнением звезд к краю пренебречь. Звезды не экранируют друг друга. Определите полное число открытых планет.

Решение

---

Оригинал в Архива: prob2024teor.pdf