ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 1. 9 класс, 1

• Широты $24^{\circ}$ и $27^{\circ}$ (второе решение: $-24^{\circ}$ и $-27^{\circ}$); точные значения — $22.3^{\circ}$ и $25.6^{\circ}$ по модулю.

В.М. Бабин

Решение. Солнечные сутки на Луне равны синодическому периоду обращения Луны $S = 29.53$ суток. Поэтому скорость движения терминатора по поверхности Луны на широте $\varphi$ выражается следующим образом:

Здесь $R$ – радиус Луны. Пусть один путешественник находится в северном полушарии ближе к лунному экватору, на широте $\varphi$ и движется со скоростью $v$. Второй находится на широте $\varphi+\Delta\varphi$. При этом мы знаем величину $\Delta\varphi$, она равна $L/R$ (примерно 0.06 радиан или 3°, хотя это численное значение нам далее не понадобится). Здесь $L$ – расстояние между путешественниками. Обратим внимание, что этот угол маленький, что дает нам возможность пользоваться столь простым соотношением. Скорость второго путешественника меньше на величину $\Delta v$, которая нам также известна. Тогда мы получаем

Подставляя первую формулу решения во вторую, имеем

Обратите внимание, что полученная широта оказалась независящей от радиуса Луны. Второй путешественник находится на широте 27°. Очевидно, у задачи есть второе решение с широтами –24° и –27°, которое также нужно назвать. Но вот в разных полушариях (один – в северном, один – в южном) путешественники быть не могут, так как тогда их широты будут не больше 3° по модулю, а разница скоростей не будет превосходить 0.01 м/с. Мы получили неплохое приближенное решение. Точные ответы, не требуемые от участников, составляют 22.3° и 25.6° по модулю широты. Скорости бега при этом составят 3.96 и 3.86 м/с соответственно.

Система оценивания.

1 этап – 4 балла. Выражение скорости движения терминатора по лунной поверхности в зависимости от широты.

Вероятная ошибка: в качестве периода смены длины и ночи на Луне берется ее орбитальный период, 27.32 дня. В этом случае оценка за этап уменьшается на 2 балла, однако все оставшиеся этапы оцениваются в полной мере.

2 этап – 4 балла. Определение широт путешественников. Сами широты могут отличаться от указанных выше на 5°, но при этом их разница должна составлять 3° с погрешностью не более 1°. Участники могут выполнять решение разными способами: численным подбором или использованием формул приближенного вычисления. Нужно обратить внимание, что если участники примут за скорость $v$ и широту $\varphi$ характеристики не первого, а второго путешественника, то они получат широты 21° и 24°, что также считается правильным. Наиболее точным подходом является составление выражения для среднего значения между широтами и скоростями путешественников, они дадут правильный ответ с точностью до 0.1°. Все эти варианты в случае верного выполнения засчитываются полностью.

Примечание: При оценке работы жюри следует отдельно проверить, зависит ли полученный ответ от радиуса Луны (например, искусственно изменив радиус и проследив эффект от этого по решению участника). В реальности, радиус Луны влияет только на разницу между широтами путешественников, но практически не сказывается на самих широтах. Если широта существенно меняется – это указывает на неверный ход решения, а ответ, если он даже получился близким к правильному, может быть случайным или необоснованным.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.