ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 2. 9 класс, 2

• -39 °

  Второй формальный вариант $+49^{\circ}$ не удовлетворяет условию: обе звезды оказываются под горизонтом.

В.Б. Игнатьев

Решение. Мы видим, что прямые восхождения звезд отличаются на 12 часов (в реальности, разница прямых восхождений Веги и Канопуса чуть иная, но это фактически не меняет ответ на задачу). Мы можем их изобразить на большом круге небесной сферы, проходящем также через полюса мира (северный полюс обозначен буквой N на рисунке). В момент, описанный в условии, это будет плоскость небесного меридиана. Проведем биссектрису угла «Вега – наблюдатель – Канопус». Она образует с экватором угол $\varphi_0$, который мы можем определить из уравнения:

Здесь $\delta_1$ и $\delta_2$ – склонения Веги и Канопуса. Отсюда получаем:

Если мы окажемся на широте $\pm\varphi_0$, то зенит окажется в точках $\mathbf{Z_0}$ или $\mathbf{Z_0'}$, равноудаленных на небе от Веги и Канопуса, что означает равенство их высот над горизонтом. Однако, по условию задачи Вега располагается на небе на $\Delta h = 10^{\circ}$ выше Канопуса. Для выполнения этого условия зенит должен быть смещен в данной плоскости на угол $\gamma = \Delta h/2$ в сторону Веги. Таким образом, мы получаем искомые значения широт:

В первом из этих случаев Вега располагается в нижней кульминации на высоте –2°, а Канопус – в верхней кульминации на высоте –12°. Во втором случае Вега в верхней кульминации на высоте +12°, Канопус в нижней кульминации на высоте +2°. Именно второй вариант удовлетворяет условию задачи.

Система оценивания. При проверке решения необходимо иметь ввиду, что многие участники будут выполнять его на основе стандартных формул для высот светила в верхней либо нижней кульминации. Этот подход оценивается полностью при условии его правильного и полного выполнения. Должны использоваться формулы, применимые для любой широты (в том числе южной) и склонения светила:

Верхняя кульминация: $h = 90^{\circ} - |\varphi - \delta|$,

Нижняя кульминация: $h = -90^{\circ} + |\varphi + \delta|$.

Возможно также использование комбинации формул для разных случаев, фактически соответствующих разным знакам выражения под модулем. Если же используются только частные формулы, чаще всего применяющиеся в северном полушарии $h = 90^{\circ} - \varphi + \delta$ для верхней кульминации и $h = -90^{\circ} + \varphi + \delta$ для нижней кульминации, то правильный ответ в этом задании вообще не может быть получен. Вероятным итогом подобного решения может оказаться первый из вариантов (широта +49°), который не удовлетворяет условию положительной высоты звезд над горизонтом. Если решение ограничивается этим ответом и окончательным выводом, что ответов, удовлетворяющих условию, нет – общая оценка не может превышать 3 баллов. Участник может перенести ответ напрямую в южное полушарие, получив значение –49°. Этот ответ правильным не является и уменьшает оценку еще на 1 балл.

Вне зависимости от хода решения, участники должны получить два возможных значения широты, при которых Вега окажется на 10° выше Канопуса, каждый из которых оценивается в 3 балла. Окончательный вывод при условии его правильности оценивается еще в 2 балла.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.