Съдържание

ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 3. 9 класс, 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2024

XXXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, 2024 г. Региональный этап. · 8 т.

Условие

Вокруг звезды с радиусом 0.64 радиуса Солнца и температурой 3850 K по круговой орбите с радиусом 0.3 а.е. обращается кубический космический аппарат, одна грань которого представляет собой квадратную солнечную батарею с длиной стороны 40 см, ее КПД равен 15%. Аппарат должен был двигаться так, чтобы батарея всегда располагалась перпендикулярно направлению на звезду, обеспечивая максимальное энерговыделение. Однако в некоторый момент времени система ориентирования аппарата сбилась. При каком максимальном угле поворота оси батареи относительно правильного положения аппарат еще сможет функционировать, если для работы его приборов необходима мощность 20 Вт?

Отговори

Решение

А.В. Веселова

Решение. Определим, какая энергия падает ежесекундно на солнечную батарею. Для этого оценим освещенность на расстоянии 0.3 а.е. от звезды:

E = \frac{L}{4\pi r^2}.

При этом сначала необходимо определить светимость звезды. Воспользуемся законом Стефана–Больцмана:

L = 4\pi R^2\sigma T^4 = 4\pi\cdot(0.64\cdot 7\cdot 10^8)^2\cdot 5.67\cdot 10^{-8}\cdot 3850^4 = 3.1\cdot 10^{25}\ \text{Вт}.

Теперь оценим освещенность:

E = \frac{3.1\cdot 10^{25}}{4\pi\cdot(0.3\cdot 1.5\cdot 10^{11})^2} = 1.2\cdot 10^3\ \text{Вт/м}^2.

Если бы солнечная батарея была ориентирована перпендикулярно направлению на звезду, через нее за секунду проходила бы энергия, равная

Q = E\cdot S = E\cdot a^2 = 1.2\cdot 10^3\cdot 0.4^2 = 192\ \text{Дж}.

С учетом КПД, на функционирование аппаратуры оставалось бы $192\cdot 0.15 = 29$ Дж. Таким образом, при правильной ориентации КА в пространстве его приборы получали бы $P_0 = 29$ Вт мощности и могли бы работать. Если ось аппарата отклонится на угол $\gamma$ , мощность работы батареи уменьшится до $P = P_0\cdot\cos\gamma$ . Остается определить предельный угол $\gamma$ , при которой мощность уменьшится до граничного значения 20 Вт:

\gamma = \arccos(20/29) \approx 45^{\circ}.

Система оценивания.

1 этап – 2 балла. Определение светимости звезды, которая может быть выражена в ваттах и/или светимостях Солнца.

2 этап – 2 балла. Определение плотности потока энергии от звезды на требуемом расстоянии. Величина может быть также выражена в единицах солнечной постоянной на Земле.

3 этап – 2 балла. Вычисление мощности солнечной батареи при правильной ориентации аппарата, точность 2 Вт.

4 этап – 2 балла. Вычисление максимального угла поворота оси батареи, точность 5°.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.

Оригинал в Архива: reg2024prob.pdf · официални решения: reg2024sol.pdf