Съдържание

ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 4. 9 класс, 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2024

XXXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, 2024 г. Региональный этап. · 8 т.

Условие

Звезда $15^m$ обращается вокруг темного объекта значительно большей массы по круговой орбите. Гелиоцентрическое собственное движение звезды меняется циклически с периодом 60 лет, при этом его минимальное значение по модулю составляет от 0.030″/год, а максимальное 0.050″/год, направление гелиоцентрического собственного движения при этом остается постоянным. Гелиоцентрическая лучевая скорость колеблется от 10 км/с до 50 км/с тем же периодом, также не меняя направления. Найдите светимость звезды и массу темного объекта. Межзвездное поглощение света не учитывать.

Отговори

Решение

О.С. Угольников

Решение. Собственное движение звезды меняется от 0.030″/год до 0.050″/год, сохраняя направление. Из этого мы можем сделать несколько выводов. С учетом круговых орбит мы получаем, что центр масс системы имеет собственное движение 0.040″/год, а орбитальное движение оптической звезды соответствует собственному движению 0.010″/год. Коль скоро собственное движение не меняет направления в ходе орбитального периода, плоскость орбиты звезды содержит как вектор скорости центра масс, так и луч зрения. Из последнего факта мы имеем, что амплитуда изменений лучевой скорости (±20 км/с) равна орбитальной скорости звезды. Лучевая скорость центра масс системы равна 30 км/с, хотя для дальнейшего решения это нам не потребуется.

Зная орбитальную скорость звезды $v$ и период $T$ , мы находим радиус орбиты:

R = \frac{vT}{2\pi} \approx 40\ \text{а.е.}

Массу центрального объекта (в массах Солнца) можно найти из III закона Кеплера

M(M_0) = \frac{R^3(\text{а.е.})}{T^2(\text{годы})} \approx 18.

Переводя орбитальную скорость звезды (20 км/с) в а.е. в год, мы получаем

20\cdot(86400\cdot 365.25/1.496\cdot 10^8) = 20/4.74 = 4.2\ \text{а.е./год}.

Это движение в небе Земли происходит с угловой скоростью 0.010″/год. Таким образом, расстояние в 4.2 а.е. видно с Земли под углом 0.01″, и расстояние до звезды $l$ составляет 420 пк. Теперь мы можем найти абсолютную звездную величину звезды

m_0 = m + 5 - 5\lg l = 6.9.

Она на $2.2^m$ больше, чем у Солнца, следовательно, светимость звезды есть $10^{-0.4\cdot 2.2} \sim 0.1$ светимости Солнца.

Система оценивания.

Этап 1 – 2 балла. Определение амплитуды величины собственного движения звезды, связанного с ее орбитальным движением. Засчитывается только в случае правильного ответа (0.010″/год).

Этап 2 – 1 балла. Определение амплитуды лучевой скорости звезды, связанной с ее орбитальным движением. Засчитывается только в случае правильного ответа (20 км/с).

Этап 3 – 1 балл. Вывод о том, что орбита лежит на луче зрения, и амплитуда лучевой скорости равна полной орбитальной скорости. Может быть сделан в явном виде или вытекать из рассуждений участника. Если данный факт принимается без обоснования по собственному движению – этап не засчитывается, остальные оцениваются, исходя из их выполнения.

Этап 4 – 2 балла. Определение массы темной компоненты. Точность (без учета ошибок, вызванных неправильным выполнением этапов 1-2) – 10%, при ошибке до 20% выставляется 1 балл.

Этап 5 – 2 балла. Определение светимости звезды. Точность (без учета ошибок, вызванных неправильным выполнением этапов 1-2) – 10%, при ошибке до 20% выставляется 1 балл.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.

Оригинал в Архива: reg2024prob.pdf · официални решения: reg2024sol.pdf