ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 5. 9 класс, 5

• Меркурий в верхнем соединении; продолжительность покрытия 1.10 часа.

О.С. Угольников

Решение. По условию задачи, наблюдения проводятся у горизонта с полюса Земли, поэтому движения наблюдателя за счет осевого вращения Земли нет, а расстояние от наблюдателя до Луны равно ее геоцентрическому расстоянию. В этом случае продолжительность покрытия определяется угловыми размерами Луны и планеты и угловыми скоростями их движения среди звезд по земному небу:

В течение центрального покрытия Луна в своем движении относительно планеты должна пройти угловой путь, равный сумме видимых диаметров Луны и планеты, $D+d$. Длительность покрытия с частными фазами составит:

Здесь $\Omega$ и $\omega$ – угловые скорости движения Луны и планеты. Так как орбита Луны считается круговой, ее угловая скорость положительна и постоянна, она равна $360^{\circ}/T_{\mathrm{L}} = 13.18^{\circ}$/сут (здесь $T_{\mathrm{L}}$ – период вращения Луны по орбите). Угловая скорость движения планеты по небу $\omega$ положительна при прямом движении и отрицательна при попятном (вблизи противостояния внешних планет и нижнего соединения для внутренних).

Чтобы найти максимальную длительность явления, рассмотрим, как на нее влияют факторы угловых размеров и движения планет. Угловой размер планеты увеличивает длительность явления, но даже для планет с самыми большими видимыми размерами (около 60″ для Венеры и 50″ для Юпитера) относительный эффект ($d/D$) составляет порядка 0.03. Обратим внимание, что такие большие размеры Венеры и Юпитера соответствуют их попятному движению, когда величина $\omega$ отрицательна и длительность покрытия уменьшается.

Эффект движения планеты может повлиять на длительность в существенно большей степени. Очевидно, нас интересует момент максимальной угловой скорости $\omega$, который наступает в верхнем соединении планеты (помехи от Солнца мы по условию задачи не учитываем). Максимальная угловая скорость планеты составляет

Здесь $v$ и $v_0$ – орбитальные скорости планеты и Земли, $a$ и $a_0$ – радиусы их орбит, $\omega_0$ – угловая скорость движения Земли по орбите (0.986°/сут). Максимальная угловая скорость будет у Меркурия ($a/a_0 = 0.387$): $\omega = 1.85^{\circ}$/сут. Таким образом, этот фактор увеличивает длительность на ($\omega/\Omega$) ~ 14%, что значительно больше эффекта от видимых размеров планеты. Угловой диаметр Луны для круговой орбиты равен 0.518°. В верхнем соединении угловой диаметр Меркурия составляет 5″, что учитывать необязательно. Продолжительность покрытия составляет 1.10 часа.

Необходимо добавить, что в рамках условия задания такое покрытие произойдет в одной точке неба с Солнцем. Однако, продолжительность практически не изменится, если Луна и Меркурий чуть отступят на небе от Солнца, а фактор засветки по условию задания мы в расчет не принимаем. В реальности, Меркурий вблизи верхнего соединения имеет блеск до $-2^m$, есть примеры его обнаружения в телескоп в 3-5° от Солнца, так что покрытие, близкое к описанному, вполне может наблюдаться.

Система оценивания.

1 этап – 1 балл. Правильное выражение для длительности покрытия Луной планеты. Оно должно учитывать угловые скорости как Луны, так и планеты, а также их угловые размеры. Если в решении опускается фактор движения либо угловых размеров планеты – этап не засчитывается.

2 этап – 1 балл. Вывод о том, что основным фактором, влияющим на длительность покрытия, является угловая скорость планеты, а не ее угловой диаметр. Вывод может быть сделан в явном виде или на основе вычислений для разных планет с учетом обоих факторов.

3 этап – 2 балла. Указание планеты, покрытие которой будет наиболее длительным. Выставляется только при правильном ответе – Меркурий, во всех иных случаях этап не засчитывается.

4 этап – 2 балла. Указание правильной конфигурации планеты (верхнее соединение). Ответ «нижнее соединение» либо же просто «соединение», если речь идет о внутренней планете, правильным не является, оба балла не выставляются. Если участник считает, что планета внешняя (то есть, неправильно выполняет третий этап), то за четвертый этап ему выставляется 1 балл, если указывается конфигурация «соединение».

5 этап – 2 балла. Определение максимальной длительности покрытия, точность 0.1 часа. При ошибке до 0.2 часа за этап выставляется 1 балл.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.