ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 12. 10 класс, 6

• 1. Высота Солнца $35^{\circ}$ (зенитное расстояние $55^{\circ}$); 2) солнечное время 8ч20м или 15ч40м.

В.Б. Игнатьев

Решение. Вначале определим угловой диаметр Солнца, на фоне которого марсоход наблюдает Фобос. Учтем, что Марс располагается в 1.524 раза дальше от Солнца, нежели Земля:

Далее определим видимый угловой размер Фобоса, сравнив его с видимым угловым размером Солнца, который нам уже известен. Сравним размеры Фобоса (большую ось) и Солнца на фотографии. Построение диаметра Солнца лучше всего сделать методом серединных перпендикуляров или найти центр способом параллельных хорд. Из рисунка мы можем получить, что большая ось Фобоса равна примерно 0.52 от диаметра Солнца, из чего мы получаем величину видимой большой оси Фобоса: $\delta = 11.0'$.

Фобос имеет форму, близкую к трёхосному эллипсоиду, большая ось которого направлена на Марс. Размеры Фобоса составляют 26.8×22.4×18.4 км. Это означает, что большая полуось данного эллипсоида направлена к центру Марса, а видимый нам контур Фобоса имеет размеры 22.4×18.4 км. Измеренная величина $\delta = 11'$ или 660″ соответствует размеру в 22.4 км. Теперь мы можем найти расстояние от точки съемки до Фобоса:

Теперь мы можем определить зенитное расстояние Фобоса $z$ в момент наблюдения, зная радиусы Марса ($R_0 = 3397$ км) и орбиты Фобоса ($R = 9380$ км). Из теоремы косинусов имеем:

Отсюда:

Высота Солнца и Фобоса над горизонтом в момент съемки равна 35°.

Разберем последний вопрос задачи – определение местного солнечного времени. По условию задачи марсоход находится на экваторе, а плоскость орбиты Фобоса совпадает с плоскостью экватора. Следовательно, для марсохода Фобос будет на большом круге, который называется первый вертикал. Поскольку Фобос затмевает Солнце, то и Солнце находится на первом вертикале, и его склонение равно нулю (само событие происходит в момент равноденствия на Марсе). Высоты Солнца и Фобоса над горизонтом совпадают. При этом Солнце может быть как над точкой востока (первая половина дня), так и над точкой запада (вторая половина дня). Поэтому должно быть два ответа.

Будем выражать солнечное время в марсианских часах. Они не будут равны земным, поскольку длительность солнечных суток на Марсе немного больше, чем 24 земных часа. За одни солнечные сутки на Марсе Солнце делает полный оборот за 24 марсианских часа. В случае, когда Солнце находится к востоку от зенита, то Солнце не дошло до момента полудня на найденное нами ранее зенитное расстояние (55° или 3ч40м). А если Солнце находится к западу от зенита, то это зенитное расстояние уже Солнце прошло с момента полудня. Таким образом, солнечное время может быть равно 8ч20м или 15ч40м.

Система оценивания.

1 этап – 1 балл. Определение углового диаметра Солнца для марсохода, точность 1′.

Вероятная ошибка: участник забывает, что на Марсе Солнце имеет меньший угловой диаметр, нежели на Земле, и предполагает его равным 30-32′. Если последующие этапы задания выполняются верно, то видимая большая ось Фобоса окажется равной около 16.5′, расстояние до него – 4700 км, чего не может быть. В этом случае первый этап решения не засчитывается, этапы 2-3 (до вычисления расстояния) оцениваются, исходя из качества их выполнения. Последние два этапа решения в этом случае не засчитываются вне зависимости от результатов. Максимальная оценка не может превышать 5 баллов.

2 этап – 4 балла. Видимая большая полуось Фобоса по рисунку, точность 1′. Этап предполагает точное измерение диаметра Солнца в масштабе рисунка (2 балла, при условии корректного нахождения диаметра на основе геометрических построений, в противном случае оценка уменьшается на 1 балл), сравнение видимой оси Фобоса с диаметром Солнца (точность 0.03 диаметра Солнца) и определения видимой большой полуоси Фобоса (1 балл).

Примечание: участник олимпиады может вести вычисления на основе малой оси Фобоса, что несколько хуже в плане точности, но в целом оправданно. Возможно также усреднение на основе измерения обеих осей.

Примечание: погрешность выполнения данного этапа может существенно сказаться на последующих результатах. В этом случае последующие этапы оцениваются, если погрешность измерений не делают их абсурдными, аналогично ситуации с угловым диаметром Солнца на предыдущем этапе.

Вероятная ошибка: использование величины самой большой оси Фобоса, которая направлена на Марс. Данный этап не засчитывается, остальные оцениваются, исходя из их выполнения.

3 этап – 1 балл. Определение расстояния до Фобоса, точность 500 км.

4 этап – 2 балла. Нахождение зенитного расстояния или высоты Фобоса над горизонтом, точность 10°.

5 этап – 2 балла. Значения солнечного времени съемки, по 1 баллу за каждое, точность 20 минут без учета погрешностей на предыдущих этапах (на этапе 4 она может дать в итоге 40 минут).

Максимальная оценка за решение задания – 10 баллов.