ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 13. 11 класс, 1

• Широта $\pm 37.9^{\circ}$ (точное значение модуля широты $37.83^{\circ}$).

А.А. Автаева

Решение. Длина пути первого путешественника равна $2\pi R$, где $R$ – радиус Земли. Длина пути второго путешественника есть

Здесь $\varphi$ – модуль широты, до которой сместился этот путешественник и по которой он сделал оборот по поверхности Земли, выраженный в радианах. Приравнивая длины путей и сокращая на $2R$, мы получаем уравнение:

Это трансцендентное уравнение можно решить численным подбором, однако существует способ получить довольно точное решение аналитически. Можно видеть, что искомая широта не очень велика. Действительно, если бы второй путешественник сместился в область полюса Земли, его путь был бы вдвое короче пути первого путешественника. Запишем приближенное выражение для косинуса малого угла:

Тогда мы получаем уравнение для некоторого приближенного значения модуля широты $\varphi_1$:

Мы знаем, что искомая широта не равна нулю, и получаем $\varphi_1 = 2/\pi = 0.637$ радиан или 36.5°. Это уже неплохое приближение, которое отличается от правильного ответа примерно на градус. Однако мы можем еще более уточнить его. Представим модуль широты $\varphi$ как сумму приближенного значения $\varphi_1$ и некоторой малой добавки $\Delta\varphi$. Тогда из свойств приближенных вычислений мы имеем

Наше уравнение примет вид

Решая его, получаем

или 1.4°. В итоге, искомая широта есть ±37.9°. Остается добавить, что точное значение модуля широты составляет 37.83°.

Система оценивания.

1 этап – 3 балла. Составление уравнения на величину модуля широты. Может быть сделано в явном виде или использоваться в ходе дальнейших вычислений.

2 этап – 4 балла. Нахождение величины модуля широты, точность 0.2°. Участник может решать уравнение численным подбором либо использовать формулы приближенных вычислений. Если в ходе решения делается первый этап приближения, в результате которого получается значение $\varphi_1 = 36.5^{\circ}$ (точность 0.2°), которое трактуется как окончательный ответ – за этап выставляется 3 балла.

3 этап – 1 балл. Окончательный ответ с учетом обеих полушарий. Балл выставляется, если в ответе указаны два значения широты.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.