Съдържание

ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 14. 11 класс, 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2024

XXXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, 2024 г. Региональный этап. · 8 т.

Условие

С Земли стартует космический аппарат (КА), который собирается изучить Венеру и Юпитер. Вначале КА отправляется к Венере по энергетически выгодной орбите, далее изучает ее минимум 2 земных года. После этого он должен отправиться к Юпитеру по энергетически выгодной орбите. На момент старта для наблюдателя с Земли Юпитер находится в соединении с Солнцем. Найдите:

1) Время, которое КА должен будет провести рядом с Венерой, прежде чем стартовать на Юпитер;

2) Через какое время после старта с Земли КА окажется на Юпитере.

Все орбиты планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости.

Отговори

Решение

А.А. Автаева

Решение. КА полетит по гомановской орбите, как по самой энергетически выгодной. Значит в момент прилета КА в перигелии этой орбиты должна оказаться Венера. Найдем время движения по орбите (половина орбитального периода) в годах:

t_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{a_{\mathrm{E}} + a_{\mathrm{V}}}{2}\right)^{3/2}.

Здесь $a_{\mathrm{E}}$ и $a_{\mathrm{V}}$ – радиусы орбит Земли и Венеры в астрономических единицах. Мы получаем, что перелет длится 0.399 лет. К его окончанию Венера оказалась на той же долготе, что Юпитер в момент старта. Сам же Юпитер за это время сместился по орбите на угол

\alpha_1 = 360^{\circ}\cdot t_1/T_{\mathrm{J}} = 12.1^{\circ}.

Здесь $T_{\mathrm{J}}$ – орбитальный период Юпитера. Найдем, сколько времени КА должен лететь до Юпитера:

t_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{a_{\mathrm{V}} + a_{\mathrm{J}}}{2}\right)^{3/2}.

Мы получаем 2.550 лет. За это время Юпитер пройдет по своей орбите дугу $360^{\circ}\cdot t_3/T_{\mathrm{J}} = 77.4^{\circ}$ . Таким образом, в момент старта с Венеры Юпитер должен опережать ее в движении по орбите на угол $\alpha_2 = 180^{\circ} - 77.4^{\circ} = 103.6^{\circ}$ .

Схема орбит вокруг Солнца (крупная точка в центре): малая окружность — орбита Венеры, средняя — орбита Земли (точка «Земля» внизу), большая — орбита Юпитера. Эллипс перелета от Земли к Венере (точка «Венера» вверху) и большая дуга перелета от Венеры к Юпитеру, касающаяся орбиты Юпитера внизу слева. Вверху на орбите Юпитера две точки «Юпитер» со стрелкой и углом α₁ между ними; от Солнца проведены радиусы к Венере и к точке на орбите Юпитера слева, угол между ними α₂.

С ходом времени разница гелиоцентрических долгот Юпитера и Венеры уменьшается, завершая полный круг за один синодический период Юпитера на Венере, равный

S = \frac{T_{\mathrm{V}}T_{\mathrm{J}}}{T_{\mathrm{J}} - T_{\mathrm{V}}} = 0.648\ \text{лет}.

С момента прибытия на Венеру до отправления с нее должно пройти время

t_2 = S\,\frac{N\cdot 360^{\circ} + (\alpha_1 - \alpha_2)}{360^{\circ}}.

Здесь $N$ – натуральное число. По условию задачи, промежуток $t_2$ должен быть не меньше 2 земных лет. Мы видим, что минимальное число $N$ , удовлетворяющее этому условию, равно 4 (аппарат проведет на Венере неполных 4 синодических периодов Юпитера), и тогда величина $t_2$ равна 2.427 лет. Полное время миссии есть

T = t_1 + t_2 + t_3 = 5.376\ \text{года}.

Система оценивания.

1 этап – 2 балла. Расчет времени перелета с Земли к Венере (1 балл) и угла поворота Юпитера по орбите за это время (1 балл). Здесь и далее – точность угловых оценок – 1°, точность временных оценок – 0.01 года.

2 этап – 4 балла. Расчет разности долгот Юпитера и Венеры в момент старта корабля к Юпитеру (2 балла) и времени нахождения аппарата на Венере (2 балла).

3 этап – 1 балл. Расчет времени перелета от Венеры к Юпитеру.

4 этап – 1 балл. Окончательное вычисление полной продолжительности миссии.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.

Оригинал в Архива: reg2024prob.pdf · официални решения: reg2024sol.pdf