Съдържание

ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 15. 11 класс, 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2024

XXXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, 2024 г. Региональный этап. · 8 т.

Условие

Планета обращается вокруг красного карлика класса М5 по круговой орбите. Осевое вращение планеты синхронизовано с ее орбитальным движением, ось вращения планеты перпендикулярна плоскости орбиты. У одного фермера на экваторе, где центральная звезда располагается в зените, есть прибор, состоящий из абсолютно черного шара с идеальной теплопроводностью и диаметром 2.5 метра, закопанного в землю наполовину, и градусника в шкале Цельсия, что измеряет температуру этого шара. Прибор нагревается от прямого излучения звезды и отдает тепловую энергию с подземной части шара в почву с мощностью 5.5 кВт, при этом показания градусника всегда одинаковы. Других источников нагрева шара, кроме излучения звезды, нет.

1) Найдите показания градусника в шкале Цельсия.

2) Определите расстояние между звездой и планетой, если эффективная температура звезды 2800 K, а радиус звезды составляет 0.20 радиусов Солнца.

Поглощением и рассеянием энергии излучения в атмосфере планеты пренебречь, расстояние приведите в астрономических единицах.

Отговори

Решение

А.А. Автаева

Решение. Заметим, что в этой системе движение синхронное, а экватор лежит в плоскости орбиты, следовательно, планета всегда повернута к звезде одной стороной, и поток звездного излучения в каждой ее точке постоянный. Тепловая энергия, вырабатываемая прибором, определяется излучением абсолютно черного тела. Так как показания термометра не меняются, ситуация стационарна, и вся энергия, собранная прибором, то есть ровно половина излучаемой шаром энергии, уходит в почву. Используя закон Стефана-Больцмана, определяем температуру:

T = \sqrt[4]{\frac{2P}{\sigma\pi d^2}} = 315\ \mathrm{K}.

Здесь $P$ – мощность, отдаваемая в почву, $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана, $d$ – диаметр шара. Переводя температуру в шкалу Цельсия, получаем +42°C.

Определим теперь плотность потока излучения звезды. Уравнение теплового баланса для шара выглядит следующим образом:

\sigma T^4\cdot\pi d^2 = \frac{\sigma T_0^4\cdot 4\pi R_0^2}{4\pi a^2}\cdot\frac{\pi d^2}{4}.

Здесь $R_0$ и $T_0$ – радиус и температура звезды, $a$ – расстояние от звезды до планеты. Упрощая это уравнение, получаем

T^4 = \frac{T_0^4\cdot R_0^2}{4a^2}.

Из этого мы получаем ответ:

a = \frac{R_0}{2}\cdot\frac{T_0^2}{T^2} = 0.037\ \text{а.е.}

Система оценивания.

Этап 1 – 1 балл. Вывод о том, что планета всегда повернута к звезде одной стороной, и поток звездного излучения постоянный.

Этап 2 – 1 балл. Вывод о том, что тепловая энергия, вырабатываемая прибором, равна излучению абсолютно черного тела и применим закон Стефана-Больцмана (может быть сделано неявно, просто применением этой формулы) – 1 балл

Этап 3 – 2 балла. Определение температуры шара (1 балл) и ее перевод в шкалу Цельсия (1 балл), точность 2 градуса.

Этап 4 – 2 балла. Правильное уравнение теплового баланса для шара.

Этап 5 – 2 балла. Определение расстояния до звезды, точность 0.02 а.е.

Возможные ошибки:

Ошибки в переводе единиц, за неправильные ответы ставится 0 баллов, правильные формулы оцениваются.
Перепутаны диаметр и радиус шара. Это влияет на выполнение этапов 3 и 4, оценка за каждый из которых уменьшается на 1 балл.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.

Оригинал в Архива: reg2024prob.pdf · официални решения: reg2024sol.pdf