Съдържание

ВсОА 2024, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 16. 11 класс, 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2024

XXXI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, 2024 г. Региональный этап. · 8 т.

Условие

В настоящее время некоторая звезда находится на расстоянии 5 пк от Солнца, постепенно удаляясь от него, а отношение величин тангенциальной и лучевой скорости равно 2.5. Чему будет равно аналогичное отношение в момент, когда расстояние между звездой и Солнцем окажется равным 7.5 пк? Какое расстояние успеет пройти звезда от настоящего времени к данному моменту? Движение звезды относительно Солнца считать прямолинейным и равномерным.

Отговори

Решение

А.В. Веселова

Решение. Поскольку звезда удаляется от Солнца, лучевая скорость положительна, а траектория движения задается с точностью до зеркального отражения. Запишем отношение компонент скорости в оба момента времени:

\frac{v_{T1}}{v_{L1}} = \frac{v\cdot\sin\varphi_1}{v\cdot\cos\varphi_1} = \tan\varphi_1 = 2.5,

Треугольник: из нижней вершины (Солнце) вертикально вверх отрезок r₁ до первого положения звезды и наклонный отрезок r₂ до второго положения, угол между ними θ. От первого положения вдоль прямой S ко второму направлена скорость v, разложенная на v_L1 (вдоль r₁) и v_T1 (перпендикулярно), угол φ₁ между v_L1 и v. Во втором положении скорость разложена на v_L2 (вдоль r₂) и v_T2, угол φ₂.

отсюда $\varphi_1 = 68.2^{\circ}$ . Для второго момента времени отношение окажется равным

\frac{v_{\mathrm{T2}}}{v_{\mathrm{L2}}} = \frac{v\cdot\sin\varphi_2}{v\cdot\cos\varphi_2} = \tan\varphi_2.

Пусть $r_1$ и $r_2$ – текущее и будущее расстояние до звезды. Из теоремы синусов следует, что

\frac{r_2}{\sin(180^{\circ} - \varphi_1)} = \frac{r_1}{\sin\varphi_2},

\sin\varphi_2 = \frac{r_1}{r_2}\sin(180^{\circ} - \varphi_1) = \frac{5}{7.5}\sin(180^{\circ} - 68.2^{\circ}) = 0.619.

Отсюда угол $\varphi_2 = 38.2^{\circ}$ , мы выбираем именно острый угол, так как $\varphi_2 < \varphi_1$ . Следовательно, отношение компонентов скорости окажется равным $\tan\varphi_2 = 0.79$ . Мы получили ответ на один из вопросов задания.

Угол с вершиной в Солнце между направлениями на два положения звезды равен

\theta = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \varphi_1) - \varphi_2 = 30.0^{\circ}.

Расстояние между двумя положениями звезды оценим по теореме косинусов:

S = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2\cos\theta} = \sqrt{5^2 + 7.5^2 - 2\cdot 5\cdot 7.5\cdot\cos 30^{\circ}} = 4.0\ \text{пк}.

Система оценивания. Решение задания разделяется на две основные части, каждая из которых связана с ответом на один из двух вопросов, каждая часть оценивается в 4 балла. Требуемая точность определения отношения компонент скоростей составляет 0.02, точность определения пути, пройденного звездой – 0.1 пк. Оценка уменьшается на 1 балл за каждое кратное увеличение погрешности. Необходимо отметить, что способ решения участником может отличаться от приведенного выше. Например, путь, пройденный звездой, может быть найден решением квадратного уравнения, образованного теоремой косинусов для того же треугольника, но относительно другого угла.

Максимальная оценка за решение задания – 8 баллов.

Оригинал в Архива: reg2024prob.pdf · официални решения: reg2024sol.pdf