ВсОА 2025, Заключителен етап, 9. клас — Задача 6. Траектории

• EDCBA

  В решении для Эриды напечатано «траектория 2», хотя по итоговому ответу EDCBA и по описанию (эллипс) ей соответствует траектория 3; в тексте оставлено как напечатано.

Решение.

Прежде всего по внешнему виду определим тип рассматриваемой кривой.

• На рис. 5 представлена окружность, поскольку все её точки равноудалены от начала декартовой системы координат.
• На рис. 3 представлен эллипс, в одном из фокусов которого, согласно первому закону Кеплера, находится Солнце (что и видно из рисунка).
• На рис. 4 представлена парабола, поскольку в каноническом представлении эта кривая обязательно должна пройти через начало координат и должна быть симметричной относительно одной из осей декартовой системы координат. Эксцентриситет параболы равен единице.
• На рис. 1 представлена ветка гиперболы, которая никогда не проходит через начало координат (в каноническом представлении), и при этом ветви кривой асимптотически подходят к двум прямым – директрисам гиперболы, взаимно пересекающимся в начале декартовой системы координат.
• На рис 2 представлена прямая. Её можно рассматривать как предельный случай гиперболы при $\varepsilon \to \infty$.

Теперь сопоставим объекты и виды траекторий.

• Как известно, Венера движется вокруг Солнца по орбите, очень близкой к круговой. Значит, данному телу должна соответствовать траектория 5.
• Эрида – это карликовая планета, располагающаяся на дальних рубежах Солнечной системы и движущаяся по сильно вытянутой эллиптической орбите. Значит, данному телу должна соответствовать траектория 2.
• Комета 2I/Borisov – это единственная известная человечеству комета, пришедшая из межзвёздного пространства. Поскольку она не принадлежит изначально Солнечной системе, она двигается по гиперболической траектории. Значит, данному телу должна соответствовать траектория 1.
• Звезда Шольца – это маломассивный красный карлик, прошедший сквозь Солнечную систему по прямолинейной траектории около 70 тысяч лет назад. Значит, данному объекту должна соответствовать траектория 2.
• Комета C/2024 G3 – это ярчайшая непериодическая комета 2025 года, движущаяся по параболической траектории с эксцентриситетом, равным единице. Очевидно, данному телу должна соответствовать траектория 4. В принципе, этот объект можно найти методом исключения.

В итоге в ответе должна быть записана следующая последовательность: EDCBA.

Критерии оценивания. 5

• За каждую букву, расположенную на правильном месте, начисляется 1 балл.
• Особое условие для ответов B и E. Если буква B поставлена на место, где должна стоять E (и/или наоборот), за каждое такое размещение начисляется по 0.5 балла.
• Предварительная оценка равна сумме начисленных баллов.
• Окончательная оценка округляется по правилам математического округления.

Особое условие для ответов B и E работает, если участник перепутал траектории параболы и гиперболы.