Съдържание

Условие Решение

ВсОА 2025, Регионален етап, 10. клас — Задача 2. Безнадежный побег

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2025

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии — Региональный этап, 10 класс · 15 януари 2025 г. · 16 т.

Оригинальное содержание официального ключа

Региональный этап

Условия, решения и схема оценивания. 10 класс

Содержание

Задача	Страница официального решения
10.1. Шаровое скопление	2
10.2. Безнадежный побег	5
10.3. Световой день Тихо	9
10.4. Сказания о проницающей способности	14
10.5. Тройная фаза	18
10.6. Комета C/2023 A3 (Tsuchinshan-Atlas) у горизонта	22

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии

Условие

Звезда имеет параллакс $\pi_0=0.1''$ , лучевую скорость $v_r=-97.8$ км/с и полное собственное движение $\mu=1.19''/$ год. Земляне хотят запустить к звезде исследовательский зонд с минимально возможной скоростью. Какую минимальную скорость (на большом удалении от Солнца) должен иметь зонд, чтобы достичь звезды с выключенными двигателями? Под каким углом к современному направлению на звезду должна быть ориентирована такая минимальная скорость? Сколько будет длиться полёт зонда?

На рассматриваемом временном промежутке движение звезды относительно Солнца можно считать равномерным и прямолинейным.

Решение

10.2. Безнадежный побег
Е. Бойцов

Решение.

Какой бы ни была оптимальная траектория аппарата, чем больше времени мы имеем на её прохождение, чем меньше может быть минимальная скорость. Поэтому мы сразу считаем, что старт аппарата происходит «прямо сейчас», в нулевой момент времени.

Выразим современное расстояние до звезды:

r_0=\frac{1\text{пк}}{\pi_{0,''}}=10\text{пк}

и её трансверсальную скорость (компонента скорости, перпендикулярная лучу зрения, или, что то же самое, лежащая в картинной плоскости):

v_\tau=\frac{\mu_{,''}/\text{год}}{\pi_{0,''}}\ \text{а.е./год}=11.91\ \text{а.е./год}=56.5\ \text{км/с}

Эту же величину можно получить, записав следующую формулу:

v_\tau=4.74\cdot\frac\mu\pi=56.5\ \text{км/с}

Лучевая скорость отрицательна, это значит, что звезда приближается к нам, и в будущем будет пролетать мимо Солнца на расстоянии, меньшем, чем $r_0$ . Поскольку трансверсальная скорость по модулю сравнима с лучевой, звезда не станет пролетать в ближайших окрестностях Солнца. Следовательно размерами области, в которой скорость зонда выходит на асимптотическое значение (максимум сотни а.е.), а также временем пребывания аппарата в этой области можно пренебречь.

Рис. 1: Общая схема. Скорости звезды; все цветные векторы, Солнце/звезда, r0 и стрелки. — Рис. 1: Общая схема. Скорости звезды

Полную гелиоцентрическую скорость звезды обозначим за $\vec v$ (рис.1). Предложим вариант решения, в котором выражать модуль скорости или угол, образуемый ею с лучом зрения, вопреки очевидному желанию, мы не будем. Попробуем обойтись вычислением минимального количества величин.

Пусть аппарат движется со скоростью $\vec v_{\text{апп}}$ относительно Солнца. Тогда скорость звезды относительно аппарата будет равна разности векторов $\vec v_{\text{отн}}=\vec v-\vec v_{\text{апп}}$ (рис.2). Чтобы звезда и зонд в конечном счёте сблизились, относительная скорость звезды должна быть параллельна лучу зрения, то есть направлена от звезды на аппарат.

Рис. 2: Схема с относительными скоростями; все цветные векторы, аппарат/Солнце/звезда, r0 и стрелки. — Рис. 2: Схема с относительными скоростями.

Нам нужно найти минимальную скорость аппарата, или, с геометрической точки зрения, найти минимальный «зеленый вектор», при котором относительная скорость сонаправлена с лучевой скоростью.

Наименьший по модулю из векторов $\vec v_{\text{апп}}$ , удовлетворяющих нашему условию – это высота, опущенная из кончика вектора $\vec v$ на луч зрения (рис.3). Модуль вектора $\vec v_{\text{апп}}$ в этом случае равен $v_\tau$ . Таким образом, минимальная скорость аппарата, позволяющая долететь до звезды, равна $v_\tau=56.5$ км/с. А двигаться с такой скоростью нужно перпендикулярно начальному направлению на звезду.

Рис. 3: Определение минимального значения вектора скорости; все цветные векторы и их прямоугольный треугольник. — Рис. 3: Определение минимального значения вектора скорости

Осталось найти, сколько продлится полёт к звезде с такой минимально возможной скоростью. Из рисунка 3 можно заметить не только то, что $v_{\text{апп}}=v_\tau$ , но и что $|v_{\text{отн}}|=|v_r|$ , т.е. звезда будет сближаться с зондом со скоростью 97.8 км/с. Тогда мы можем легко выразить время полёта $T$ :

T=\frac{r_0}{v_r}=100\ \text{тыс. лет}

Кратко опишем альтернативное решение

Полный треугольник альтернативного решения с N, Smin, S, r0, V, Vτ и обоими углами α.

Запишем выражение для расстояния $r(t)$ от наблюдателя $N$ до произвольной точки на линии траектории звезды $S$ через теорему косинусов:

r(t)=\sqrt{r_0^2+(v\cdot t)^2-2\cdot r_0\cdot v\cdot t\cos\alpha}

Здесь $v$ – полная скорость звезды, $t$ – время, прошедшее с начального момента (момента старта), $\alpha$ – угол между направлением скорости и лучом зрения.

Разделим выражение для расстояния на время, получим выражение для скорости аппарата:

v_{\text{апп}}(t)=\sqrt{\frac{r_0^2}{t^2}+v^2-2\frac{r_0\cdot v\cdot t\cos\alpha}{t^2}}

Из треугольника скоростей выразим $\cos\alpha=\frac{v_r}{v}$ .

v_{\text{апп}}(t)=\sqrt{\frac{r_0^2}{t^2}+v^2-2\frac{r_0\cdot v_r}{t}}

Теперь нужно найти минимум этой функции. Для этого нужно взять производную по времени и приравнять ее к нулю. Поскольку звезда к нам приближается, найденный экстремум будет являться минимумом.

Сделаем замену подкорневого выражения на $z$

v_{\text{апп}}(t)=\sqrt{z(t)}

v_{\text{апп}}'(t)=\frac{z'(t)}{2\sqrt{z(t)}}=0\qquad\Rightarrow\qquad z'(t)=0

z'(t)=-2\frac{r_0^2}{t^3}+2\frac{r_0\cdot v_r}{t^2}=0

Отсюда

t=\frac{r_0}{v_r}=100\ \text{тыс. лет}

Далее нужно проанализировать получившийся ответ. Если скорость сближения (относительная скорость) равна лучевой скорости звезды, то скорость аппарата должна быть равна трансверсальной скорости звезды и сонаправлена с ней.

Заметим, что альтернативное решение более требовательно к владению математикой (теорема косинусов и производные сложных функций). При этом оно дает только подсказку к вопросу нахождения направления скорости, а для полноценного ответа нужно работать с векторами.

Ответ: минимальная скорость, достаточная для полёта к звезде, равна 56.5 км/с, должна быть ориентирована под углом $90^\circ$ к современному направлению на звезду, и позволит долететь до светила за 100 тысяч лет.

Потенциальная ошибка участника. Предположение, что минимальная скорость аппарата будет при минимальном расстоянии. В этом случае критерии 5 и 6 оцениваются в 0 баллов, а критерий 7 – максимум в 1 балл за определение минимального расстояния пролета, хоть оно и не является верным. То есть максимальная оценка за такое решение будет 7 баллов.

Критерии оценивания. 16

Критерий	Баллы
К1. Определение расстояния до звезды $r_0$	2
К2. Определение величины трансверсальной скорости	2
К3. Пренебрежение временем изменения скорости в поле тяжести Солнца	1

В случае, если участник подумал, но данные размышления не записал в решение, то за данный пункт балл не выставляется. Следующие этапы оцениваются в полной мере при правильности их решения. Данный пункт оценивается только в случае его явной записи.

Критерий	Баллы
К4. Верное направление лучевой скорости из знака $v_r$	1

Звезда приближается к Солнцу, не нужно отправлять аппарат вдогонку

Критерий	Баллы
К5. Определение минимальной скорости аппарата	4
Аналитическое или векторное определение условия минимума	3
Обоснование, что $v_{min}=v_\tau$	1
К6. Значение угла направления аппарата	2
К7. Нахождение времени полета аппарата	4
Верное выражение для расстояния до точки встречи	1
Верное выражение для относительной скорости	1
Итоговый расчет	2

Если участник считает, что условие задачи выполняется при минимальном расстоянии К.7 - 1 балл

Примечание к печатному источнику

В оригинальных условиях и официальных решениях сохранены печатные выражения и расхождения. В решении10.1 напечатано равенство −9.5ᵐ=−7.76ᵐ и разные значения5.72/5.71; в10.2 при отрицательной лучевой скорости записано положительное время T=r₀/vᵣ. В10.4 формула относительного отверстия содержит знаменатель10, а альтернативная формула фокусного расстояния обозначение f₃. В10.6 сохранены смешанные индексы звезд и величин, исходные выражения погрешностей, времени и округления. Это формы оригинального источника. Заголовок задачи10.4 «проницающей» следует печатным страницам. Каждый из первых пяти ключей указывает16баллов, шестой20; сумма100выведена из отдельных рубрик, отдельно общий балл не напечатан.

Оригинал в Архива: vos-2025-reg-prob-10.pdf · официални решения: vos-2025-reg-sol-10.pdf