Съдържание

ВсОА 2025, Регионален етап, 11. клас — Задача 1. Честно и прямолинейно

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2025

Региональный этап. Условия задач. 11 класс · 15 януари 2025 г. · 16 т.

Условие

В таблице приведены данные о положении, компонентах скорости и видимой звездной величине некоторой звезды. Определите такой же набор данных для второго положения звезды, считая ее движение относительно Солнца прямолинейным и равномерным. Все данные приведены к эпохе J2000.0.

$\alpha$	$\delta$	$\pi$ , $''$	$\mu$ , $''$ /год	$V_r$ , км/с	$m$
$3^h00^m$	$0^\circ00'$	$0''.10$	0.40	$-30.0$	$+3^m.0$
$3^h15^m$	$0^\circ00'$

Отговори

Решение

Решение. Определим параметры движения звезды. Все относящиеся к первому положению звезды величины, то есть указанные в таблице, будем обозначать индексом 1, величины для нового положения — индексом 2.

Рассмотрим схему движения звезды относительно Солнца ( $S$ ), нарисуем проекции скорости $\vec{V}$ на луч зрения (компоненты $\vec{V}_{r,1}, \vec{V}_{r,2}$ ) и в картинной плоскости (компоненты $\vec{V}_{\tau,1}, \vec{V}_{\tau,2}$ ).

Схема движения звезды относительно Солнца S: звезда перемещается по прямой длиной l из точки M1 в точку M2 со скоростью V; от S проведены отрезки r1 к M1 и r2 к M2, угол между ними τ; в M1 показаны компоненты V_r,1 (к Солнцу) и V_τ,1, угол θ между V и лучом зрения; в M2 — компоненты V_r,2 и V_τ,2.

Рассчитаем тангенциальную скорость $V_{\tau,1}$ по собственному движению и параллаксу:

V_{\tau,1} = 4.74\mu r_1 = 4.74\mu/\pi_1 = 4.74\cdot 0.4/0.1 = 19\ \text{км/с}.

Полная скорость ( $V = V_1 = V_2$ ) равна

V = \sqrt{V_{r,1}^2 + V_{\tau,1}^2} = \sqrt{30^2 + 19^2} = 35.5\ \text{км/с}.

Относительно луча зрения полная скорость направлена под углом

\theta = \arccos\frac{|V_{r,1}|}{V} = 32^\circ.3.

Движение звезды относительно Солнца прямолинейное и равномерное, причем в угловой мере звезда смещается на $\tau = \alpha_2 - \alpha_1 = 15^m = 3^\circ.75$ .

Из теоремы синусов для треугольника положений звезд и Солнца имеем

\frac{\sin\theta}{r_2} = \frac{\sin\tau}{l} = \frac{\sin\bigl(180^\circ - (\tau + \theta)\bigr)}{r_1}.

Так как $r_1[\text{пк}] = 1/\pi_1$ , а $r_2[\text{пк}] = 1/\pi_2$ , получаем

\pi_2 = \pi_1\cdot\frac{\sin\bigl(180^\circ - (\tau + \theta)\bigr)}{\sin\theta} = 0''.11.

Оценим новую видимую звездную величину с учетом того, что при постоянной светимости освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до объекта:

m_2 - m_1 = -2.5\frac{1/r_2^2}{1/r_1^2} = -5\lg\frac{\pi_2}{\pi_1} = -0^m.2, \quad m_2 = 2^m.8.

Оценим новую лучевую скорость:

V_{r,2} = -V\cos\bigl(180^\circ - (180^\circ - (\theta + \tau))\bigr) = -28.7\,\text{км/с}.

Далее определим тангенциальную скорость и собственное движение:

V_{\tau,2} = V\sin\bigl(180^\circ - (180^\circ - (\theta + \tau))\bigr) = 20.9\,\text{км/с}, \quad \mu_2 = \frac{V_{\tau,2}}{4.74 r_2} = 0''.49/\text{год}.

Таким образом, итоговая таблица выглядит так:

$\alpha$	$\delta$	$\pi$ , $''$	$\mu$ , $''$ /год	$V_r$ , км/с	$m$
$3^h00^m$	$0^\circ00'$	$0''.10$	0.40	$-30.0$	$+3^m.0$
$3^h15^m$	$0^\circ00'$	$0''.11$	0.49	$-28.7$	$+2^m.8$

Критерии оценивания. 16

Каждая арифметическая ошибка, не приводящая к явно нелепому ответу, снижает оценку за соответствующий пункт на 1 балл. Максимальная оценка последующих пунктов при этом не снижается.

К1. Параллакс второго положения — 6

Вычисление смещения объекта на земном небе (угол $\tau$ ) — 1
Вычисление первоначальной тангенциальной скорости — 2
Вычисление полной скорости — 1
Определение параллакса во второй момент времени — 2

К2. Видимая звездная величина во втором положении — 3

Значение должно получиться меньше, чем в первый момент времени. Если это условие не выполнено, то за пункт выставляется не более 1 балла.

К3. Лучевая скорость во втором положении — 3

Лучевая скорость должна получиться отрицательной. Если это условие не выполнено, то за пункт выставляется не более 1 балла.

К4. Собственное движение во втором положении — 4

Тангенциальная скорость должна получиться больше, чем в первый момент времени, как и собственное движение. Тангенциальную скорость также можно определить по лучевой из прямоугольного треугольника скоростей.

Вычисление тангенциальной скорости — 2
Вычисление собственного движения — 2

Оригинал в Архива: vos-2025-reg-prob-11.pdf · официални решения: vos-2025-reg-sol-11.pdf