ВсОА 2025, Регионален етап, 11. клас — Задача 2. Взрыв нечерного тела

• A. $3 \times 10^{6}$ м/с²
• B. 0.00001 M_Sun
• C. 58 кпк
• D. $2 \times 10^{7}$ K
• E. 100000 м

Решение.

A. Вращением белого карлика (БК) вокруг оси можно пренебречь: он входит в состав тесной двойной системы (в противном случае аккреция вещества со второго компонента не происходила бы) и в системе должна была произойти приливная синхронизация. Как следствие, период вращения БК вокруг оси примерно совпадает с орбитальным периодом системы, который не может быть малым.

Поэтому ускорение свободного падения можно вычислить просто как

где $G$ — гравитационная постоянная, $\mathfrak{M}$ — масса карлика, $R$ — его радиус. Зная массу Солнца и радиус Земли, получаем (здесь и далее в промежуточных вычислениях все численные данные выражены в СИ)

B. При превращении 1% массы оболочки $\mathfrak{M}_{\text{об}}$ из водорода в гелий должна была выделиться энергия $E = 0.01\alpha\,\mathfrak{M}_{\text{об}}c^2$, где $\alpha = 7\cdot 10^{-3}$, $c$ — скорость света. Тогда

C. Оценим светимость новой в максимуме вспышки. За время $t = 11$ суток была высвечена энергия $E$, поэтому светимость

(с достаточной для нас точностью в сутках $9\cdot 10^4$ секунд).

Тогда абсолютная звездная величина новой в максимуме вычисляется из соотношения

и

(отметим, что она будет болометрической — у нас нет информации о том, в каких диапазонах высвечивалась энергия вспышки; впрочем, по условию задачи разница между оптическими и болометрическими звездными величинами отсутствует).

Для оценки расстояния воспользуемся соотношением $M = m - 5\lg r + 5$, откуда

Это за пределами Галактики, но странным такой результат не является: вспышки новых успешно наблюдаются и в других галактиках. Эта вспышка, по-видимому, произошла в каком-то из Магеллановых облаков.

D. Напрашивается идея, что непосредственно перед вспышкой БК представлял собой шар, излучающий только за счет того, что он нагрет до некоторой температуры $T$. Поскольку его радиус $R$ нам известен, то если мы знаем его светимость $L_0$, то температуру можно будет определить из соотношения $L_0 = 4\pi R^2\sigma T^4$ (тут $\sigma$ — постоянная Стефана-Больцмана).

Верхнюю возможную оценку светимости $L_0$ можно найти, считая, что видимая звездная величина белого карлика (а значит и абсолютная тоже) изменилась на $10^m$ при вспышке. Фактически это эквивалентно предположению, что излучением второго компонента системы можно пренебречь, что более-менее правдоподобно только для максимума вспышки. Все же воспользуемся им, понимая, что учет наличия второго компонента понизит оценку светимости $L_0$ и, как следствие, найденную оценку температуры.

Такое изменение абсолютной звездной величины соответствует изменению светимости на 4 порядка, откуда $L_0 = 10^{28}$ Вт. Тогда можно вычислить температуру (точнее, также ее верхнюю оценку):

Однако полученный результат явно нелеп: при этой температуре должны были «запуститься» реакции синтеза гелия из водорода, а она для этого слишком мала (несмотря на то, что мы получили ее оценку сверху). Причина в том, что водородная оболочка БК, как мы увидим далее, является достаточно тонкой и, как следствие, она прозрачна для собственного излучения. Поэтому модель абсолютно черного тела для описания ее излучения непригодна.

Это означает, что оценку температуры надо получить другим путем. Поскольку температура должна быть достаточной для запуска термоядерных реакций, можно использовать в качестве оценки минимальную температуру в центре звезд главной последовательности — это несколько миллионов кельвинов. Более точной оценка получится, если учесть, что реакции синтеза гелия из водорода в новых — это реакции CN-цикла, для запуска которых нужна большая температура (этот цикл становится основным в звездах главной последовательности с массой, несколько большей солнечной, поэтому и температура должна быть несколько больше, чем температура в центре Солнца). Лучшей оценкой будет $T \approx 2\cdot 10^7$ К.

E. Для оценки толщины оболочки воспользуемся известным выражением для толщины однородной атмосферы (она же экспоненциальный масштаб атмосферы)

где $\mathfrak{R}$ — универсальная газовая постоянная, $\mu$ — молярная масса газа. Поскольку водород при таких температурах полностью ионизован, молярная масса окажется равной $0.5\cdot 10^{-3}$ кг/моль, а все остальные данные у нас уже имеются. Тогда

Критерии оценивания. 16

Во всех случаях, если иное не оговорено в критериях, при вычислении численных результатов достаточна точность, с которой соответствующий результат указан в авторском решении. После каждого критерия указаны также возможные варианты оценки, которые не суммируются.

К1. Ускорение свободного падения — 2

К2. Масса оболочки — 3

• Записана правильная формула, но численный результат неверен — 1
• Численный результат верен, но выражен не в массах Солнца — 2

К3. Расстояние — 4

Данный этап состоит из трех действий (вычисление светимости, вычисление абсолютной звездной величины, вычисление расстояния), каждое из которых оценивается 1 баллом при условии записи правильной формулы для вычисления соответствующей величины (или правильной соответствующей части более общей формулы). Еще 1 балл выставляется при условии получения правильного расстояния (с допустимой погрешностью $\pm 5$ кпк).

К4. Температура оболочки — 4

• Использование модели АЧТ без осмысления результата — 0
• Оценка температуры АЧТ и понимание, что результат слишком мал — 2
• Оценка $T = (1-5)\cdot 10^6$ К — 2
• Оценка $T = (5-15)\cdot 10^6$ К — 3
• Оценка $T = (15-25)\cdot 10^6$ К — 4

К5. Толщина оболочки — 3

Численный ответ считается правильным, если он соответствует ранее полученным участником значениям ускорения свободного падения и температуры.

• Правильно записана только формула — 1
• Значение молярной массы неверно, вычислительных ошибок нет — 2