Съдържание

ВсОА 2025, Регионален етап, 11. клас — Задача 6. Очень страшная задача

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2025

Региональный этап. Условия задач. 11 класс · 15 януари 2025 г. · 20 т.

Условие

В 2007 году был открыт первый быстрый радиовсплеск FRB 010724. На рисунке 1 приведена запись сигнала всплеска с телескопа Parkes (Австралия) в 96 частотных каналах через 1 мс. Экваториальные координаты источника всплеска $\alpha = 01^h18^m06^s$ , $\delta = -75^\circ12'19''$ .

Известно, что при распространении в плазме радиоволны испытывают дисперсию. Скорость распространения длинных волн в плазме меньше, чем коротких. Разность прихода сигнала на частотах $\nu_1$ и $\nu_2$ равна

t_2 - t_1 = \frac{e^2}{2\pi m_{\mathrm{e}}c}\left(\frac{1}{\nu_2^2} - \frac{1}{\nu_1^2}\right)DM,

где $e$ и $m_{\mathrm{e}}$ — заряд и масса электрона, а $DM$ — мера дисперсии:

DM[\text{пк/см}^3] = \bar{n}_{\mathrm{e}}d,

где $\bar{n}_{\mathrm{e}}$ — средняя концентрация электронов на луче зрения и $d$ — расстояние до источника.

В астрономии принято пользоваться гауссовой системой единиц, в которой масса выражается в граммах, время в секундах, а длина в сантиметрах. В этих единицах заряд электрона $e = 4.8\cdot 10^{-10}\ \text{г}^{1/2}\text{см}^{3/2}\text{с}^{-1}$ , а мера дисперсии имеет размерность см $^{-2}$ . Однако меру дисперсии обычно принято выражать в пк/см $^3$ .

A. Найдите меру дисперсии $DM$ FRB 010724 в пк/см $^3$ .

B. Предполагая, что концентрация электронов на луче зрения постоянна и равна средней для диска Галактики $n = 3\cdot 10^{-2}$ см $^{-3}$ , найдите расстояние до источника всплеска.

C. Как Вы думаете, полученное Вами расстояние завышено или занижено? Поясните свой ответ.

Динамический спектр всплеска: по горизонтали «Время с момента начала всплеска, мс» от 0 до 500, по вертикали «Частота, ГГц» с отметками 1.3, 1.4, 1.5. Черная наклонная полоса сигнала идет от примерно 70 мс на 1.5 ГГц до примерно 410 мс внизу диапазона; горизонтальная черная линия-артефакт около 1.34 ГГц; в правом верхнем углу вставка с усредненным временным профилем, имеющим один узкий пик. — Рис. 1: Запись сигнала всплеска с телескопа Parkes (Австралия) в 96 частотных каналах. Горизонтальная линия — артефакт, связанный со сбоем аппаратуры. На вставке приведен средний по всем частотам временной профиль всплеска.

Отговори

Решение

Решение.

Выразим меру дисперсии из равенства, приведенного в условии:

DM = \frac{2\pi m_{\mathrm{e}}c(t_2 - t_1)}{e^2}\left(\frac{1}{\nu_2^2} - \frac{1}{\nu_1^2}\right)^{-1}.

Для того, чтобы найти меру дисперсии, надо узнать моменты прихода сигнала на двух разных частотах. На графике выберем 2 конкретные частоты и получим время прихода для них. Например, для $\nu_1 = 1.5$ ГГц время прихода $t_1 \approx 0.07$ с, а для $\nu_2 = 1.3$ ГГц $t_2 \approx 0.3$ с. Подстановка чисел в формулу дает (надо не забыть перевести массу в граммы, а скорость в см/с):

DM = \frac{2\pi\cdot 9\cdot 10^{-28}\cdot 3\cdot 10^{10}\cdot(0.3-0.07)}{(4.8\cdot 10^{10})^2}\left(\frac{1}{(1.3\cdot 10^9)^2} - \frac{1}{(1.5\cdot 10^9)^2}\right)^{-1} \approx 1.15\cdot 10^{21}\text{см}^{-2}.

Тот же динамический спектр, что и на рис. 1 условия: время 0–500 мс по горизонтали, частота 1.3–1.5 ГГц по вертикали, наклонная полоса сигнала, горизонтальная линия-артефакт около 1.34 ГГц и вставка с временным профилем с одним пиком. — Рис. 2: Запись сигнала всплеска с телескопа Parkes (Австралия) в 96 частотных каналах. Горизонтальная линия — артефакт, связанный со сбоем аппаратуры. На вставке приведен средний по всем частотам временной профиль всплеска.

Для того, чтобы перевести $DM$ из см $^{-2}$ в пк/см $^3$ , нужно разделить полученное число на число сантиметров в парсеке. Итого получаем

DM = 1.15\cdot 10^{21}\text{см}^{-2}/3\cdot 10^{18}\ \text{см/пк} \approx 380\,\text{пк/см}^3.

Расстояние $d = DM/\bar{n}_{\mathrm{e}} = 380/0.03 \approx 13$ кпк.

Для вычисления расстояния мы взяли постоянную концентрацию электронов на луче зрения. В реальности она меняется в зависимости от того, через более или менее плотную среду в Галактике и за ее пределами проходит излучение. Если среда менее плотная, чем в среднем по Галактике, то расстояние, на котором набирается та же мера дисперсии, больше, чем полученное нами. Если более плотная, то меньше.

Радиус нашей Галактики равен 15 кпк, Солнце находится на расстоянии 8 кпк от ее центра, а толщина диска Галактики очень мала по сравнению с его радиусом. Таким образом понимание того, завышено или занижено полученное нами расстояние в 13 кпк, сильно зависит от направления в Галактике, в котором был виден всплеск.

Источник FRB 010724 находится в точке с координатами $\alpha = 01^h18^m06^s$ , $\delta = -75^\circ12'19''$ . Центр Галактики имеет экваториальные координаты $\alpha = 17^h46^m$ , $\delta = -29^\circ00'$ . Приблизительно их можно определить, вспомнив, что центр Галактики находится в созвездии Стрельца, в котором также находится точка зимнего солнцестояния с координатами $\alpha = 18^h$ , $\delta = -23^\circ.4$ . Известно, что Млечный путь на небе проходит через созвездия Стрельца (уже упомянутого), Лебедя, Персея и Ориона. Это можно либо помнить из опыта собственных наблюдений, либо из названий соответствующих рукавов Галактики (рукав Ориона и т.д.). Созвездие Ориона располагается примерно на экваторе под созвездиями Тельца и Близнецов, то есть примерно под точкой летнего солнцестояния. Созвездие Лебедя, прекрасно видимое летом и осенью, расположено в северном полушарии неба между точками зимнего солнцестояния и весеннего равноденствия. Персей — осенне-зимнее созвездие, располагается между точками весеннего равноденствия и летнего солнцестояния также в северном полушарии. Таким образом мы понимаем, что в интересующей нас области прямых восхождений, около точки весеннего равноденствия, Млечный путь располагается над экватором в области положительных склонений. Это означает, что луч, направленный в точку с координатами $\alpha = 01^h18^m06^s$ , $\delta = -75^\circ12'19''$ , не лежит в плоскости Галактики и ее окрестностях, а проходит под большим углом к ней.

К этому же выводу можно прийти другим путем, если помнить, что Северный полюс Галактики имеет экваториальные координаты $\alpha \approx 13^h$ , $\delta \approx 27^\circ$ . Тогда Южный полюс имеет координаты $\alpha \approx 1^h$ , $\delta \approx -27^\circ$ и лежит примерно на том же круге склонений, что и источник всплеска. Таким образом расстояние от источника всплеска до Южного полюса Галактики примерно равно $|-75^\circ - (-27^\circ)| = 48^\circ$ , а от плоскости Галактики примерно $90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$ .

Следовательно, в Галактике излучение всплеска прошло лишь малую долю своего полного пути и набрало существенно меньшую меру дисперсии, чем вычисленная нами. Остальная часть пути излучения пролегала по среде с намного меньшей плотностью, чем средняя по Галактике. Чтобы набрать недостающую меру дисперсии, ему было необходимо пройти существенно большее расстояние. Таким образом, расстояние, полученное нами, сильно занижено.

Авторы открытия всплеска оценили, что в Галактике излучение FRB 010724 набрало лишь $DM = 25$ пк/см $^3$ из 380 пк/см $^3$ .

Критерии оценивания. 20

К1. Вычисление меры дисперсии — 10

Снятие показаний с графика — 4
Вычисление меры дисперсии см $^{-2}$ — 3
Перевод в пк/см $^3$ — 3

К2. Вычисление расстояния — 2

К3. Ответ на вопрос C — 8

Понимание, в каком случае расстояние завышено, а в каком занижено — 2
Определение положения источника относительно плоскости Галактики — 4
Ответ «занижено» — 2

Оригинал в Архива: vos-2025-reg-prob-11.pdf · официални решения: vos-2025-reg-sol-11.pdf