ВсОА 2025, Регионален етап, 11. клас — Задача 5. Сферическое в вакууме

• 1.3

  Отношение $w_{\text{☾}}/w_{\odot} = 2.9/2.3 = 1.3$.

Решение.

Начнем с вычисления ускорения, обусловленного световым давлением. Каждый отдельный фотон, имеющий энергию $\varepsilon$, обладает импульсом $p = \varepsilon/c$. Если он поглощается поверхностью, то передает этот импульс ей, если отражается строго в обратном направлении — передает удвоенный импульс.

Рассмотрим сначала упрощенный случай, заменив шарообразный спутник на плоский, ориентированный перпендикулярно направлению на Солнце, и имеющей тот же диаметр. Освещенность, которую на нем создает Солнце (энергия, которая приходит на единицу площади его поверхности от Солнца в единицу времени), равна

где $L_{\odot}$ — светимость Солнца, $r_{\odot}$ — расстояние до него. Разделив эту величину на скорость света $c$, мы получим суммарный импульс фотонов, которые падают на единицу площади зеркала за единицу времени. Отметим, что изменение импульса за единицу времени — это сила, а сила, отнесенная к единице площади — давление, поэтому если бы все фотоны были бы поглощены, то величина $E/c$ была бы равна давлению света на поверхность. В случае плоского зеркала, расположенного перпендикулярно направлению на Солнце, все фотоны отражаются обратно и передают зеркалу свой удвоенный импульс (создав тем самым давление, равное $2E/c$). Заметим, что от распределения фотонов по энергиям (т.е. от вида спектра Солнца) эти результаты никак не зависят. Все фотоны, приходящие от Солнца, мы считаем движущимися в одном направлении, считая тем самым угловые размеры Солнца пренебрежимо малыми (будем считать такое приближение очевидным, однако можно показать, что оно внесет в итоговый результат относительную поправку порядка квадрата углового размера Солнца в радианах, т.е. менее $10^{-4}$, что нас вполне устроит).

Однако мы имеем дело не с плоским зеркалом, а с шаром. Как следствие, фотоны, летящие вдоль радиуса шара и попадающие в «подсолнечную» точку, действительно передадут ему удвоенный импульс, а вот фотоны, пришедшие к шару почти по касательной, его импульс практически не изменят. Поэтому среднее световое давление должно быть меньше, чем в случае плоской зеркальной поверхности, соответствующий «коэффициент передачи импульса» (обозначим его $\alpha$) должен быть меньше 2.

Далее можно действовать тремя путями. Первый из них: нас интересует оценка, и поскольку импульс, переданный каждым фотоном, попавшим в шар, варьируется от удвоенного до нулевого, выберем в качестве некоторого среднего значения $\alpha$ единицу — скорее всего, сильно мы при этом не ошибемся (а на самом деле, как будет видно далее, удачно попадем в правильный ответ).

Второй путь состоит в том, чтобы честно выяснить, какая часть импульса будет передана. Для этого придется заняться вычислениями. Рассмотрим фотоны, летящие в тонком кольце радиуса $r$ вокруг прямой, соединяющей Солнце и центр спутника. Толщину кольца обозначим $dr$. Из построения видно, что фотон, имевший импульс $p$, передаст шару в горизонтальном (на рисунке) направлении импульс $p\cdot(1+\cos 2\theta)$. Вертикальная компонента импульса нас не интересует — в силу симметрии все такие переданные импульсы в сумме дадут нуль. Поскольку $\sin\theta = r/R$, то переданный импульс можно записать как

Так как кольцо, в котором движутся интересующие нас фотоны, имеет площадь $2\pi r\,dr$, а площадь всего сечения спутника $\pi R^2$, то получаем, что для подсчета общего $\alpha$ нам надо сосчитать взвешенное среднее получившихся коэффициентов для колец, умноженных на долю площади, приходящуюся на такое кольцо. Иначе говоря, взять интеграл

(тут использована замена $x = r^2/R^2$). Получаем, что первая же оценка оказалась совершенно точной — зеркальный шар ведет себя точно так же, как поглощающий диск того же размера (и, что интересно, и как поглощающий все излучение шар того же размера).

Наконец, третий вариант: можно воспользоваться известным фактом, что зеркальный шар отражает падающие на него параллельные лучи изотропно во всех направлениях. В таком случае суммарный импульс отраженных фотонов будет нулевым, а это означает, что шару передается только импульс падающих фотонов, что приводит нас к уже полученному выше выводу: $\alpha = 1$.

Теперь остается немногое. Получаем, что ускорение, создаваемое световым давлением, можно вычислить как

где $D$ — диаметр спутника, а $m$ — его масса. Сразу же отметим, что диаметр известен нам всего лишь с двумя значащими цифрами, а это означает, что в качестве расстояния от Солнца до спутника можно брать величину 1 а.е., большая точность не требуется. Подставляя числовые данные, получаем

Теперь вычислим ускорение со стороны Луны. Оно, очевидно, будет наименьшим в ситуации, когда спутник находится от Луны на максимально большом расстоянии, поэтому начнем с поиска этого расстояния, не забывая, что нас интересует результат с двумя значащими цифрами — получение более точного значения из-за ограниченной точности предыдущего результата лишено смысла. В справочных данных приведено максимальное и минимальное расстояние от Земли до Луны, и хорошо видно, что учет радиуса орбиты спутника вокруг Земли (это $6.4 + 1.3 = 7.7$ тысяч км) и конкретного положения спутника на этой орбите лишены смысла: достаточно считать, что спутник расположен на расстоянии $r_{\text{☾}} = 4.1\cdot 10^8$ м от Луны.

Тогда гравитационное ускорение, которое создает Луна, вычисляется как

Остается вычислить отношение ускорений. Ускорение, сообщаемое световым давлением, меньше гравитационного ускорения Луны в $w_{\text{☾}}/w_{\odot} = 2.9/2.3 = 1.3$ раза.

Критерии оценивания. 16

Для всех промежуточных вычислений достаточной является точность 2 значащие цифры (и соответствующая погрешность промежуточных результатов). Учет менее значимых факторов не является ошибкой, но не оценивается дополнительными баллами. После каждого критерия указаны также возможные варианты оценки, которые не суммируются.

К1. Определение «коэффициента эффективности передачи импульса» $\alpha$ — 5

• Принят $\alpha = 1$ без обоснований — 1
• Принят $\alpha = 2$ — 2
• Принят $\alpha = 1$ как примерная оценка среднего — 4
• Принят $0 < \alpha < 2$, $\alpha \ne 1$ как примерная оценка среднего — 3
• Принят $\alpha = 1$ с любой попыткой количественного обоснования — 5
• Иные варианты — 0

К2. Ускорение, обусловленное световым давлением — 5

• Правильная формула, но неверный численный результат — 3
• В формуле потеряна масса спутника — 2

К3. Гравитационное ускорение — 4

• В качестве расстояния взято среднее расстояние от Земли до Луны — 1 (в этом случае должен быть получен численный ответ $3.3\cdot 10^{-5}$ м/с$^2$)
• Расстояние выбрано правильно, но допущена ошибка в вычислениях — 2

К4. Итоговый результат — 2

• В качестве ответа дана обратная величина — 1