ВсОА 2025, Регионален етап, 9. клас — Задача 1. Суточное движение звезд над горизонтом

• A) $\varphi_O = 0^{\circ}$
• B) $\delta_A = +30^{\circ},\quad \delta_B = -10^{\circ}$
• C) $\Delta\alpha = \alpha_A - \alpha_B = 6^{\mathrm{h}}\,19^{\mathrm{m}}$
• D) $\omega_{\mathrm{vis}}^{(A)}/\omega_{\mathrm{vis}}^{(B)} = 0.88\ (\omega_{\mathrm{vis}}^{(B)}/\omega_{\mathrm{vis}}^{(A)} = 1.14)$

Определим широту точки $O$. Заметим, что промежуток времени $\tau = 11^{\mathrm{h}}\,58^{\mathrm{m}}$ – это 1/2 звездных суток Земли (1 балл). Через указанный промежуток времени Полярная звезда должна располагаться в диаметрально противоположных точках своей суточной параллели. Значит, для наблюдателя в точке $O$ горизонт рассекает ровно по диаметру ее суточную параллель, в центре которой должен располагаться Северный полюс мира. Следовательно, последний также лежит на горизонте (1 балл) и его высота равна нулю. Таким образом, астрономическая широта места наблюдения также равна нулю, т. е. $\boxed{\varphi_O = 0^{\circ}}$ (1 балл), – точка наблюдения $O$ располагалась на земном экваторе.

Для наблюдателя, расположенного на земном экваторе, ось мира лежит в плоскости математического горизонта (см. рис. 1), а плоскости небесного экватора и суточных параллелей всех звезд перпендикулярны плоскости математического горизонта (1 балл). При этом небесный экватор совпадает с первым вертикалом, проходящим через точки востока ($E$) и запада ($W$), а круги склонений светил, расположенных в данный момент на горизонте, совпадают с математическим горизонтом в тот же момент (1 балл). Значит, склонение звезды $A$ будет равно угловому расстоянию от точки востока до точки ее восхода, т. е. $\boxed{\delta_A = \breve{ER}_A = +30^{\circ}}$ (1 балл). Аналогично рассуждая, получаем $\boxed{\delta_B = -\breve{WS}_B = -10^{\circ}}$ (1 балл).

На экваторе все звезды находятся над горизонтом время $\tau$. Значит, в момент восхода звезды $B$ над горизонтом время равно $T_{\text{В}}^{(B)} = 4^{\mathrm{h}}\,10^{\mathrm{m}} + 24^{\mathrm{h}} - \tau = 16^{\mathrm{h}}\,12^{\mathrm{m}}$ (1 балл). Далее воспользуемся универсальной формулой связи местного звездного времени ($s$), часового угла светила ($t_*$) и его прямого восхождения ($\alpha_*$) (1 балл):

Тогда разность прямых восхождений звезд будет (1+1 балл)

здесь учтено, что часовые углы точек восхода звезд $A$ и $B$ одинаковы; $k = 1.002739$ – коэффициент перевода интервала среднего солнечного времени в интервал звездного времени (по сути равный отношению количества звездных секунд (86400) в одних звездных сутках к количеству средних солнечных секунд (86164) в одних сутках); $T_{\text{В}}^{(A)} = 22^{\mathrm{h}}\,30^{\mathrm{m}}$.

Для получения этого результата можно воспользоваться немного другой последовательностью рассуждений. Звезда $B$ заходит на $5^{\mathrm{h}}\,40^{\mathrm{m}}$ позже восхода звезды $A$ (1 балл). За сутки солнечное и звездное время расходятся примерно на 4 минуты. Значит, за $5^{\mathrm{h}}\,40^{\mathrm{m}}$ разница между звездным и солнечным временем увеличится чуть менее чем на минуту (1 балл). Между восходом звезды $A$ и заходом звезды $B$ проходит, таким образом, $5^{\mathrm{h}}\,41^{\mathrm{m}}$ (звездное время течет быстрее) (1 балл). Тогда разность прямых восхождений этих звезд равна $\Delta\alpha = 12^{\mathrm{h}} - 5^{\mathrm{h}}\,41^{\mathrm{m}} = 6^{\mathrm{h}}\,19^{\mathrm{m}}$ (1 балл).

Угловая скорость видимого перемещения светила по небосводу может быть определена как отношение малого угла $\Delta\xi$, на который изменяет свое положение светило на небосводе относительно наблюдателя, расположенного в центре небесной сферы, в результате суточного вращения, к промежутку времени $\Delta t$, за который это изменение произошло (1 балл):

Согласно рис. 2 угол $\Delta\xi$ можно представить в виде: $\Delta\xi = \ell/R$ (1 балл), здесь $\ell$ – малая часть дуги суточной параллели звезды, которую проходит звезда за время $\Delta t$ (в силу малости дуги $\ell$, последняя здесь рассматривается как дуга большого круга радиуса $R$, где $R$ – радиус небесной сферы). С другой стороны, эту дугу можно представить в виде: $\ell = r\,\Delta\psi$ (1 балл), где $r$ – радиус суточной параллели звезды, а $\Delta\psi = \omega_{\oplus}\Delta t$ – угол, на который повернулось светило относительно центра своей суточной параллели ($O_s$) за время $\Delta t$, $\omega_{\oplus}$ – угловая скорость суточного вращения Земли. Заметим, что из треугольника $\Delta OO_SS_S$ следует, что $\cos\delta_A = r/R$. Из двух последних результатов следует, что (1 балл)

Тогда искомое отношение угловых скоростей будет (1 балл):

Критерии оценивания. — 16

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.

К1. Определение астрономической широты места наблюдения — 3

• Использовано, что интервал $11^{\text{ч}}58^{\text{м}}$ равен 1/2 звездных суток Земли — 1
• Обоснование положения Северного полюса мира на горизонте — 1
• Определение широты точки $O$ — 1
• Если широта определена правильно, но с неверным или не до конца верным обоснованием, или даже полностью без обоснования, ответы на остальные вопросы оцениваются в полной мере

К2. Определение склонений звезд $A$ и $B$ — 4

• При неверном определении широты задача определения склонений становится совершенно иной и оценивается не более чем 2 баллами при правильном решении.
• Определено взаимное расположение горизонта и небесного экватора — 1
• Явно указано на отсчет склонения от точек востока и запада — 1
• Определение значений склонения звезд $A$ и $B$ — 1 + 1

К3. Определение разности прямых восхождений звезд — 4

• При неверном определении широты данная задача становится совершенно иной и оценивается не более чем 2 баллами при правильном решении.
• Вычислено время восхода звезды $B$/время захода звезды $A$ — 1
• Использована связь звездного времени и прямого восхождения светила — 1
• Итоговая формула для $\Delta\alpha$ + численное значение ($6^{\text{ч}}19^{\text{м}}$) — 1 + 1
• Если участник не учел, что солнечное и звездное время течет с разной скоростью, то оценка за этот этап не может превышать 2 баллов.

К4. Определение отношения угловых скоростей — 5

• Представлена формула (3) для определения угловой скорости — 1
• Установлена связь между углом $\Delta\xi$ и дугой $\ell$ — 1
• Представление дуги $\ell$ в терминах радиуса $r_A$ и угловой скорости $\omega_{\oplus}$ — 1
• Получена итоговая формула (4) для угловой скорости — 1
• Получено численное значение искомого отношения — 1