ВсОА 2025, Регионален етап, 9. клас — Задача 2. Рассеянное скопление

• N = 1010 звезд; M ≈ −3.1m

Диаметр хорошо приспособившегося к темноте зрачка около $\delta = 6$ мм. Диаметр объектива телескопа в $120/6 = 20$ раз больше. Поскольку число собранных фотонов зависит от площади входного зрачка (2 балла), значит, от звезды $5^m$ приходит в $20^2 = 400$ раз больше квантов света. Иначе, количество собранной телескопом световой энергии также зависит от площади объектива и превосходит в 400 раз количество энергии, собираемой невооруженным глазом. В соответствии с формулой Погсона, звездная величина слабых звезд скопления составляет (2 + 2 балла)

Для того, чтобы все слабые звезды светили как одна звезда $5^m$, необходимо, чтобы от них приходило в $20^2 = 400$ раз больше фотонов, чем от одной (2 балла). От звезды $4^m$ приходит в $10^{0.4} \approx 2.512$ раз больше света, чем от звезды $5^m$. Следовательно, число слабых звезд скопления равно $400\cdot 2.512 \approx 1005$ (2 балла), а полное число звезд скопления равно $N = 1010$ (1 балл).

Пусть $x$ — освещенность, создаваемая звездой $5^m$. Тогда все скопление создает освещенность $5x + 2.512x = 7.512x$. Видимая звездная величина всего скопления равна (2 балла)

Тогда абсолютная звездная величина скопления (1+2 балла)

Замечание 1. Размер зрачка глаза в темноте у разных людей может колебаться от 4 до 8 мм. В решении использовался средний размер зрачка 6 мм. При иных значениях ответ на первый вопрос будет иным. Для удобства сведем эти значения в таблицу.

Замечание 2. Число звезд скопления можно найти другим способом. Освещенность от звезды $4^m$ больше, чем от звезды $11.5^m$ в $10^{0.4(11.5-4)} = 1000$ раз. Значит скопление содержит $1000 + 5$ звезд. Ответ отличается от приведенного выше, но противоречие только кажущееся. Надо учесть, что в формуле (5) мы округлили значение $m$. Возникает такой же эффект, как и при измерении больших расстояний маленькой линейкой: абсолютная погрешность растет. Если мы подставим неокругленное (или округленное до большего числа знаков) значение $m$, то получим правильный ответ $N = 1005 + 5$ звезд. Поэтому ответ $1000 + 5$ звезд является неправильным.

Критерии оценивания. — 16

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.

К1. Определена визуальная звездная величина звезд видимых только в телескоп — 6

• Записана формула Погсона в любом из вариантов — 2
• Освещенность зависит от площади или квадрата диаметра входного зрачка — 2
• Правильное значение звездной величины — 2
• Если в качестве диаметра зрачка выбирается величина не из диапазона $[4; 8]$, то оценка уменьшается на 1 балл
• В случае ошибки на любом из предыдущих этапов вычисление звездной величины не оценивается

К2. Полное количество звезд в скоплении — 5

• Есть указание на суммирование освещенностей (света, энергии, фотонов) — 2
• Определено количество звезд, видимых только в телескоп — 2
• Если допущена ошибка, описанная в замечании 2, оценка уменьшается на 1 балл
• Полное количество звезд в скоплении — 1

К3. Абсолютная звездная величина скопления — 5

• Определена суммарная визуальная звездная величина всего скопления — 2
• Если учтены не все звезды, оценка уменьшается на 1 балл
• Зависимость освещенности от обратного квадрата расстояния (явно или косвенно) — 1
• Правильное значение звездной величины — 2
• В случае ошибки на любом из предыдущих этапов вычисление звездной величины не оценивается