ВсОА 2025, Регионален етап, 9. клас — Задача 3. Далекие перспективы

• Такая планета невозможна: ученые создать такую планету не могли, поэтому она не могла находиться ни на каком расстоянии (автор романа ошибся).

Поскольку планета X может наблюдаться с Земли в противостоянии, то можно сделать однозначный вывод, что она внешняя (1 балл), причем планета Солнечной Системы, о которой идет речь во втором вопросе, внешняя по отношению к планете Х (1 балл). Таким образом, это может быть Марс, Юпитер, Сатурн, Уран или Нептун. Так как дальнейшие размышления будут для любой из этих планет аналогичными, будем называть ее планета СС и использовать индекс «с» в формулах.

Из условия можно сделать вывод, что орбита планеты Х может располагаться между орбитами Земли и планеты СС. Также планета Х не может вращаться вокруг Солнца в противоположную относительно планеты СС сторону, поскольку в таком случае не будет выполняться второе условие. Действительно, поскольку планета Х внешняя, то ее сидерический период больше сидерического периода Земли. Предположим, что в некоторый момент с Земли наблюдалось одновременно противостояние планет СС и Х. Тогда следующее противостояние X состоится не ранее, чем через полгода, и не позже чем через год, тогда как синодический период планеты СС больше года (2 балла).

Из первой части условия можно сделать вывод, что период обращения планеты Х ($T_{\text{х}}$) в некоторое целое число раз $n$ больше сидерического периода Земли ($T_{\text{з}}$). Поэтому (2 балла):

Из второй части условия следует подобная связь между синодическими периодами систем «Земля —Планета Х» ($S_{\text{зх}}$) и «Планета Х — Планета СС» ($S_{\text{хс}}$) (2 балла):

где $k$ – целое положительное число. Запишем связь между синодическими и сидерическими периодами (3 балла):

Здесь $T_{\text{с}}$ — сидерический период рассматриваемой планеты СС. Подставив $T_{\text{х}}$ и $S_{\text{зх}}$ из уравнений (8) и (9), получим

Поделим второе уравнение на первое

Период планеты СС в земных сидерических периодах обозначим как $P_{\text{с}}$. Тогда (3 балла)

Отсюда

При $n = 1$ получаем $P_{\text{с}} = 1$, то есть сидерический период планеты равен земному году, чего быть не может. При любом значении $P_{\text{с}} > 1$ значение дроби в правой части остается меньше 2, а значит, других целых решений этого неравенства не существует ни для одной из внешних по отношению к Земле планет Солнечной Системы.

Итак, мы получили противоречие. Автор романа ошибся: ученые создать такую планету не могли. Поэтому она не могла находиться ни на каком расстоянии от Земли (2 балла).

Критерии оценивания. — 16

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.

К1. Определение положения планеты X в солнечной системе — 2

• X — внешняя для Земли — 1
• X — внутренняя для планеты Солнечной системы — 1
• Данные утверждения не обязательно должны быть сделаны явно. Они могут быть понятны из логики решения.

К2. Исследование прямого движения — 11

• Верная связь между $T_{\text{х}}$ и $T_{\text{з}}$ — 2
• Если вместо произвольного натурального $n$ рассмотрен только один вариант, оценка уменьшается на 1 балл.
• Верная связь между $S_{\text{зх}}$ и $S_{\text{хс}}$ — 2
• Если вместо произвольного натурального $k$ рассмотрен только один вариант, оценка уменьшается на 1 балл.
• Верно записаны уравнения (10) — 2
• Условие, из которого можно сделать вывод об отсутствии подходящих орбит — 3
• Вывод об отсутствии подходящих орбит для этого типа движения — 2

К3. Рассмотрен вариант обратного движения X и сделан правильный вывод — 2

К4. Окончательный ответ, что планета X не могла находиться в Солнечной системе — 1

• Оценивается, только если верно рассмотрены и прямое, и обратное движения.