ВсОА 2025, Регионален етап, 9. клас — Задача 4. Рыбак рыбака

• A) 0.1 M☉
• B) Телец
• C) Нет, звезда (небольшой красный карлик) не видна невооруженным глазом.
• D) Антарес

Определим расстояние от инопланетян до Солнца. Местный год в $\frac{5}{365.25}$ раз короче земного. Поэтому искомое расстояние составляет (2 балла)

Смещение Солнца на небе инопланетян вызвано явлением параллакса. Под углом $\varpi = 7.7\cdot 10^{-3\,\prime\prime}$ нам видно радиус орбиты планеты $r$. Тогда (2 балла)

Пусть $M$ — масса звезды инопланетян. В соответствии с обобщенным третьим законом Кеплера (2 балла)

где $r_{\oplus}$ и $P_{\oplus}$ — радиус орбиты и период обращения Земли вокруг Солнца, а $M_{\odot}$ — масса Солнца. Подставляя значения, получаем (2 балла)

На карте мы видим Солнце среди звезд созвездия Скорпион (1 балл). Самая яркая звезда в этом созвездии называется Антарес (2 балла). Можно заметить, что Солнце располагается почти точно на эклиптике. Планету инопланетян нам нужно искать в противоположной части неба, то есть в созвездии Тельца (2 балла).

Масса звезды соответствует массе небольшого красного карлика. Ближайший к нам красный карлик Проксима Центавра невооруженным глазом не виден. Звезда инопланетян находится примерно втрое дальше, а значит, также не должна быть видна невооруженным глазом (3 балла).

Замечание. Вывод о невидимости глазом звезды инопланетян сделан на основе общеизвестной информации. Это не единственный способ рассуждений. Приведем некоторые другие.

• Типичный блеск ближайших к нам красных карликов 9–$10^{\mathrm{m}}$. Нами получена масса очень небольшого красного карлика, а значит, он точно не относится к ярким представителям своего класса и не будет видим глазом.
• Температуры красных карликов составляют около 3000 К. Поскольку светимость звезды пропорциональна четвертой степени температуры, звезда, размером с Солнце и такой температурой, светила бы в 16 раз слабее. Солнце с расстояния 10 пк видно как звезда $4.7^{\mathrm{m}}$. Тогда с расстояния 3.5 пк оно было бы видно как звезда $4.7 - 5 + 5\lg 3.5 \approx 2.4^{\mathrm{m}}$, а в два раза более холодное Солнце имело бы звездную величину $2.4 + 2.5\lg 16 \approx 5.4^{\mathrm{m}}$. Такую звезду увидеть на темном небе можно, но надо учесть, что красные карлики меньше Солнца, а такие маломассивные, как в нашем случае, скорее ближе по размерам к Юпитеру. Отсюда делаем вывод о том, что блеск звезды слишком мал.
• Для звезд главной последовательности с массами не слишком сильно отличающими от солнечной известна зависимость масса-светимость: $L \propto M^4$. Отсюда можно сделать вывод, что светимость звезды составляет около 0.0001 светимости Солнца. Тогда, рассуждая изложенным выше путем, получим, что блеск звезды составляет $12.4^{\mathrm{m}}$. В действительности зависимость масса светимость для красных карликов менее крутая, но сути выводов это не меняет.

На самом деле даже самый яркий красный карлик невооруженным глазом невиден, или виден далеко не каждым невооруженным глазом, поскольку его звездная величина $6.7^{\mathrm{m}}$.

Критерии оценивания. — 16

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.

К1. Определение массы звезды — 8

• Определение расстояния от звезды до Солнца — 2
• Определение радиуса орбиты планеты инопланетян — 2
• Правильная запись 3-го обобщенного закона Кеплера — 2
• Вычисление массы звезды — 2
• Если масса определена не в нужных единицах, то оценка за последний пункт уменьшается на 1 балл
• В случае ошибки на любом из предыдущих этапов, последний этап не засчитывается

К2. Определение созвездия — 3

• Правильное отождествление созвездия на карте — 1
• Созвездие Тельца — 2
• Если вместо Тельца указано созвездие Овна, то за последний пункт ставится 1 балл при правильных рассуждениях

К3. Вывод невидимости звезды глазом — 3

• Если масса звезды определена с ошибкой, то вывод о видимости звезды глазом оценивается из полученного значения массы

К4. Антарес — 2