Съдържание

ВсОА 2025, Регионален етап, 9. клас — Задача 5. Два спутника

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2025

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии. Региональный этап. Условия задач. 9 класс · 15 януари 2025 г. · 16 т.

Условие

Два спутника Земли — «Метеор» и «Облако» — движутся по круговым орбитам в перпендикулярных плоскостях. В некоторый момент времени «Метеор» пролетел над «Облаком». Спустя четверть оборота «Метеор» мог видеть «Облако» на краю диска Земли. Угловой диаметр Земли при наблюдении с «Облака» равен $\beta = 93^{\circ}$ .

A) На каком угловом расстоянии от края диска Земли будет видно «Облако» с «Метеора» через половину периода «Метеора» после пролета одного спутника над другим?

B) Сколько полных оборотов совершит «Метеор», прежде чем, вернувшись в исходную точку, он не сможет увидеть «Облако»?

Атмосферной рефракцией пренебречь.

Отговори

Решение

На рисунке изобразим момент, когда «Метеор» видит «Облако» на краю диска Земли. Пусть $R = 6371$ км — радиус Земли, а $r_{\mathrm{M}}$ и $r_{\mathrm{O}}$ — радиусы орбит «Метеора» и «Облака» соответственно.

Прямоугольный треугольник: вертикальный катет r_M от центра Земли до «Метеора», горизонтальный катет r_O до «Облака», гипотенуза касается четверти круга «Земля» радиуса R (прямой угол в точке касания); углы β′/2 у «Метеора» и β/2 у «Облака». — Рис. 4: К определению радиусов орбит спутников.

Из рисунка видно, что радиус орбиты «Облака» равен (2 балла)

r_{\mathrm{O}} = \frac{R}{\sin\frac{\beta}{2}} \approx 8783\,\text{км}. \qquad (19)

Стоит отметить, что угол $\beta/2 = 46.5^{\circ} \approx 0.8$ рад довольно велик и замена синуса этого угла на сам этот угол в радианах неправомочна (замена справедлива, пока угол много меньше радиана) и приводит к значительной ошибке.

Радиус орбиты «Метеора» равен (2 балла)

r_{\mathrm{M}} = r_{\mathrm{O}}\,\mathrm{tg}\,\frac{\beta}{2} = \frac{R}{\cos\frac{\beta}{2}} \approx 9255\,\text{км}. \qquad (20)

Центр Земли справа, дуга диска Земли; «Метеор» на расстоянии r_M и «Облако» на расстоянии r_O от центра, угол γ между ними при центре; отрезок l между спутниками, угол α и угол β′/2 при «Метеоре»; штриховые дуги орбит. — Рис. 5: Положение спутников после половины оборота «Метеора».

Зная радиусы орбит спутников, можем найти отношение их периодов обращения с помощью 3-го закона Кеплера (1+1 балла):

\frac{P_{\mathrm{M}}}{P_{\mathrm{O}}} = \left(\frac{r_{\mathrm{M}}}{r_{\mathrm{O}}}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\mathrm{tg}\,\frac{\beta}{2}\right)^{\frac{3}{2}} \approx 1.082. \qquad (21)

Спустя половину оборота «Метеор» окажется в точке своей орбиты противоположной исходной. «Облако» к этому моменту пройдет половину своей орбиты и еще некоторый угол $\gamma = (P_{\mathrm{M}}/P_0 - 1)\times 180^{\circ} \approx 15^{\circ}$ (1 балл). Мы получили угол «Облако»–центр Земли–«Метеор», а для ответа на первый вопрос нам нужно знать угол «Облако»–«Метеор»–центр Земли. Обозначим его как $\alpha$ . Его можно найти с помощью теоремы синусов, если знать расстояние между спутниками $l$ . Это расстояние можно найти с помощью теоремы косинусов (2 балла):

l = \sqrt{r_{\mathrm{O}}^2 + r_{\mathrm{M}}^2 - 2r_{\mathrm{O}}r_{\mathrm{M}}\cos\gamma} \approx 2355\,\text{км}. \qquad (22)

Отсюда (2 балла)

\alpha = \arcsin\left(\frac{r_{\mathrm{O}}}{l}\sin\gamma\right) \approx 71.2^{\circ}. \qquad (23)

Видимый с «Метеора» угловой радиус Земли равен $\beta'/2 = 90^{\circ} - \beta/2 = 43.5^{\circ}$ . Тогда искомый угол между «Облаком» и краем диска Земли (1 балл)

\delta = \alpha - \beta'/2 = 27.7^{\circ}. \qquad (24)

В исходной точке «Облако» останется видимым с «Метеора», пока не обгонит его на угол больший $90^{\circ}$ . После каждого витка он опережает «Метеор» на угол $2\gamma$ . Разделив $90^{\circ}$ на $2\gamma$ , получаем чуть больше 3. Это означает, что «Метеор» не сможет увидеть «Облако» только после того, как вернется в точку А в четвертый раз (3 балла).

Ответ на последний вопрос можно получить немного иначе. Выразим синодический период «Облака» для «Метеора» $S$ через периоды обращения этих спутников $P_{\mathrm{O}}$ и $P_{\mathrm{M}}$ :

S = \frac{P_{\mathrm{M}}P_{\mathrm{O}}}{P_{\mathrm{M}} - P_{\mathrm{O}}} = \frac{P_{\mathrm{O}}}{P_{\mathrm{M}}}\frac{P_{\mathrm{M}}}{1 - \frac{P_{\mathrm{O}}}{P_{\mathrm{M}}}} \approx 12.2P_{\mathrm{M}}. \qquad (25)

За синодический период «Облако» обгонит «Метеор» на один оборот. Значит, обгон на четверть оборота состоится за четверть синодического периода, то есть $3.1P_{\mathrm{M}}$ . Мы снова пришли к тому же выводу.

Критерии оценивания. — 16

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.

К1. Определены радиусы орбит либо высоты спутников над поверхностью Земли — 3

Правильный метод вычисления — 1
В частности, если вместо синуса угла в формулах (19) и (20) используется сам угол, то этот балл не выставляется, но остальное решение оценивается полностью
Значение для «Облака» — 1
Значение для «Метеора» — 1
Вычисление обоих значений оценивается только если сам метод вычисления был верным

К2. Отношение периодов спутников — 3

Запись 3 закона Кеплера — 2
Вычисление отношения периодов — 1
Засчитывается только при правильной формуле

К3. Определено угловое расстояние от «Облака» до края диска Земли — 6

Угол между спутниками при центре Земли — 1
Линейное расстояние между спутниками — 2
Угол «Облако»–«Метеор»–центр Земли — 2
Расчет углового расстояния — 1

К4. Ответ на второй вопрос — 4

Явно указаны 90 градусов или четверть оборота — 1
Верно определено количество витков любым разумным способом — 3
За каждый недостающий/лишний в ответе виток оценка за последний пункт снижается на 1 балл

Оригинал в Архива: vos-2025-reg-prob-9.pdf · официални решения: vos-2025-reg-sol-9.pdf