Съдържание

ВсОА 2025, Регионален етап, 9. клас — Задача 6. Галактический пролет

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2025

XXXII Всероссийская олимпиада по Астрономии. Региональный этап. Условия задач. 9 класс · 15 януари 2025 г. · 20 т.

Условие

В плоскости Галактики вдали от тяготеющих тел двигаются две звезды $S_1$ и $S_2$ . Можно считать, что звезды двигаются равномерно и прямолинейно, гравитационным влиянием друг на друга можно пренебречь. Длина вектора скорости показывает расстояние, пройденное звездой за 10 000 лет. Определите следующие величины:

A) Минимально возможное расстояние между двумя звездами в парсеках.

B) Через какое время в прошлом или в будущем это произойдет? Ответ дайте в годах.

C) Относительную скорость звезды $S_1$ для наблюдателя из окрестностей звезды $S_2$ в километрах в секунду.

D) Собственное движение звезды $S_1$ со звезды $S_2$ в начальный момент времени и в момент минимального пролета, выраженное в угловых секундах в год.

На рисунке изображен вид из северного полюса Галактики.

Клетчатая сетка с масштабом «1 пк» (одна клетка); звезда S₁ с вектором скорости V₁, направленным вправо-вверх (4 клетки вправо, 1 вверх); звезда S₂ с вектором V₂, направленным вниз на 2 клетки; справа толстая серая стрелка «Галактический центр», направленная вправо. — К условию задачи 6

Отговори

Решение

Перейдем в систему отсчета одной из звезд. Поскольку нас спрашивают про звезду $S_1$ со звезды $S_2$ , то для решения задачи разумно перейти в систему отсчета $S_2$ .

В этой системе отсчета найдем вектор относительной скорости звезды $S_1$ . Для этого к концу вектора $v_1$ приложим вектор $-v_2$ . Длина получившегося вектора равна $v_{\text{отн}} = 3\sqrt{2}$ (2 балла), то есть за 10 000 лет звезда преодолела $3\sqrt{2}$ пк. Тогда относительная скорость равна (2+2 балла)

v_{\text{отн}} = \frac{\sqrt{2}\cdot 3\ \text{пк}}{10\ 000\ \text{лет}} = \frac{\sqrt{2}\cdot 3\cdot 3.086\cdot 10^{13}\ \text{км}}{10\ 000\cdot 3.15\cdot 10^{7}\ \text{c}} = 416\ \text{км/с} \qquad (26)

Та же клетчатая сетка с масштабом «1 пк»: у звезды S₁ векторы V₁, −V₂ и результирующий V_отн; штриховая линия пути S₁ в системе отсчета S₂ проходит вниз-влево; синий перпендикуляр от S₂ к этой линии; серая стрелка «Галактический центр». — Рис. 7: Определение относительной скорости и минимального расстояния

Тем самым мы получили ответ на третий вопрос задачи.

Обратим внимание, что звезда $S_1$ сейчас удаляется от $S_2$ . Значит, пролет на минимальном расстоянии был в прошлом (1 балл). Нарисуем штриховой линией путь звезды $S_1$ в нашей системе отсчета. Перпендикуляр к этой штрихованной линии будет являться как раз минимальным расстоянием. Из чертежа видно, что минимальное расстояние составляет $r_{\min} = \sqrt{2} = 1.4$ пк (2 балла). А время, когда было это событие, равно (3 балла)

\Delta t = \frac{5}{3}\cdot 10\ 000\ \text{лет} \approx 16\ 700\ \text{лет назад}. \qquad (27)

Альтернативный вариант решения может быть следующим. Участник может составить уравнение движения каждой из звезд, найти зависимость расстояния от времени и искать время (при помощи производной или иным способом), при котором расстояние становится минимальным.

На этом заканчивается первая часть задачи, и мы переходим к более астрономическому четвертому вопросу. Трансверсальная (часто говорят тангенциальная) скорость звезды может быть вычислена с помощью формулы (1 балл)

v_{\tau} = 4.74\frac{\mu''/\text{год}}{\pi''}\ \text{км/с}, \qquad (28)

где численный коэффициент 4.74 получается от деления значения одной астрономической единицы на число секунд в году, $\mu$ – собственное движение звезды (или угловая скорость), которое астрономы измеряют в угловых секундах в год.

Сначала рассмотрим момент, когда звезда находилась на минимальном расстоянии. В этом случае относительная скорость равна трансверсальной (1 балл), а лучевая скорость равна нулю. Расстояние равно минимальному расстоянию $\sqrt{2}$ пк. Подставив значения в формулу (28), получим (1 балл)

\mu_{min} = \frac{v_{\tau}\pi''}{4.74} = \frac{v_{\tau}}{4.74\cdot r\ (\text{пк})} = \frac{416}{4.74\cdot\sqrt{2}} = 62''/\text{год}. \qquad (29)

Теперь перейдем к начальному моменту времени. Для этого случая рассмотрим два различных подхода, чтобы показать возможные решения участников.

Вариант 1. В лоб.

Обозначим угол между вектором $\vec{v}_{\text{отн}}$ и лучом зрения как $\gamma$ . Тогда искомая тангенциальная скорость равна $v_{\tau} = v_{\text{отн}}\sin\gamma$ (2 балла). Обозначим положение звезды $S_1$ на минимальном расстоянии от звезды $S_2$ как $S_{1(min)}$ . Треугольник $\triangle S_1S_2S_{1(min)}$ прямоугольный, а угол при вершине $S_1$ равен $\gamma$ . Длины обоих катетов этого треугольника мы нашли ранее. Тогда расстояние между звездами – гипотенузу треугольника – можно найти из теоремы Пифагора: $S_1S_2 = r_0 = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ пк (2 балла). К такому же ответу мы придем, если построим прямоугольный треугольник с гипотенузой $r_0$ и катетами, проведенными по линиям сетки на рисунке: $r_0 = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52}$ . Тогда $\sin\gamma = r_{min}/r_0 = 1/\sqrt{26}$ .

Сетка с масштабом «1 пк»: звезды S₂ и S₁, луч зрения от S₂ через S₁ («Луч зрения»), перпендикулярная ему «Картинная плоскость», векторы V_отн и V_τ у S₁, угол γ между V_отн и лучом зрения, штриховая траектория с точкой S₁(min), угол 45° и серая стрелка к надписи «Галактический центр». — Рис. 8: Определение трансверсальной скорости

Подставим полученные значения в формулу для собственного движения (1 балл):

\mu_0 = \frac{v_{\tau}}{4.74\cdot r_0} = \frac{v_{\text{отн}}\sin\gamma}{4.74\cdot r_0} = \frac{416\,\text{км/с}}{4.74\cdot\sqrt{26}\cdot 2\sqrt{13}} = \frac{416}{4.74\cdot 26\sqrt{2}} \approx 2.4''/\text{год}. \qquad (30)

Вариант 2. С использованием прицельного параметра

Минимальное расстояние $r_{min}$ иногда называют прицельным параметром. Как мы уже показали в первом варианте, можно записать:

\begin{cases} v_{\tau} = v_{\text{отн}}\sin\gamma \\ r_{\min} = r_0\sin\gamma \end{cases} \qquad (31)

Отсюда, исключая $\sin\gamma$ , получаем

\frac{v_{\tau}}{v_{\text{отн}}} = \frac{r_{\min}}{r_0} \quad\Rightarrow\quad \frac{v_{\tau}}{v_{\text{отн}}\cdot r_0} = \frac{r_{\min}}{r_0^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{v_{\tau}}{v_{\text{отн}}\cdot r_0} = \frac{r_{\min}^2}{r_{\min}\cdot r_0^2} \qquad (32)

Тогда

\frac{v_{\tau}}{r_0} = \frac{v_{\text{отн}}}{r_{\min}}\cdot\frac{r_{\min}^2}{r_0^2} \qquad (33)

Подставляя в формулу (28) и учитывая выражение (29), получим

\mu_0 = \frac{v_{\tau}}{4.74\cdot r_0} = \mu_{min}\cdot\frac{r_{\min}^2}{r_0^2} = 62\cdot\frac{2}{52} = 2.4''/\text{год}. \qquad (34)

Критерии оценивания. — 20

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.

К1. Определение минимального расстояния — 4

Построение вектора относительной скорости — 2
Верный численный ответ в парсеках — 2
Если верный ответ дан не в парсеках, то вместо 2-х баллов ставится только 1
Этот пункт ставится только за верный ответ. В случае получения неверного ответа критерий 1 не оценивается, а все последующие пункты оцениваются в зависимости от численных значений в решении участника.

К2. Определение времени, когда было минимальное расстояние между звездами — 4

Утверждение, что это было в прошлом — 1
Определение величины $\Delta t$ с точностью до 500 лет — 3

К3. Определение относительной скорости — 4

Построение вектора относительной скорости в терминах условия задачи оценивается в первом критерии
Определение относительной скорости в терминах условия задачи (пк/год) — 2
Верный численный ответ в км/с — 2

К4. Определение собственных движений — 8

Запись формулы для собственного движения — 1
Определение трансверсальной скорости для наименьшего расстояния — 1
Определение трансверсальной скорости в начальный момент — 2
Определение взаимного расстояния в начальный момент — 2
Определение собственного движения для наименьшего расстояния — 1
Определение собственного движения в начальный момент — 1

Оригинал в Архива: vos-2025-reg-prob-9.pdf · официални решения: vos-2025-reg-sol-9.pdf