Съдържание

ВсОА 2026, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-1. Орлиный глаз

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

XXXIII Всероссийская олимпиада по астрономии. Практический тур. Условия задач. 10 класс · 25 април 2026 г.

Внимание: Бележка към темата

Условия практического тура напечатаны с датой 25 апреля 2026 г., восстановленный официальный файл условий и решений — с датой 26 апреля 2026 г. Научные условия задач 7–9/10.7–10.9 соответствуют друг другу. Несмотря на слова «схема оценивания» в заголовке файла решений, таблиц критериев для этих трех задач в нем нет. В задаче 9 исходные условия на странице 5 печатают «Светит мазер, светит явный…», а соответствующий заголовок файла решений на странице 12 — «Светит мазер, светит ясный…». На странице 13 файла решений три графика подписаны «К задаче 2». Эти исходные различия сохранены. В решении задачи 8 сохранено напечатанное «проекция … направлено».

Условие

Посмотрите на негатив фотографии, приведенный ниже, и оцените как можно более точно высоту Солнца над горизонтом в момент съемки. Длина Международной космической станции равна 109 м, ширина — 73 м, высота ее орбиты — 400 км. Считайте, что нижний край фотографии совпадает с альмукантаратом.

Негатив фотографии: в верхней части узкий серп Венеры (объект установлен в официальном решении), в нижней части силуэт Международной космической станции с солнечными панелями, повернутый наклонно. Исходные пиксели фотографии сохранены. — Рис. 1: Фотография к задаче «Орлиный глаз»

Исходные бланки ответа

Полный исходный бланк сохранен вместе с пустыми полями номера листа, количества листов и кода участника. Напечатанное указание «Не заполнять!» относится к полю кода участника. Остальные напечатанные указания и поля сохранены на оригинале. Самостоятельной новой задачи на бланке нет.

Полный оригинальный незаполненный бланк со всеми полями, инструкциями и увеличенным исходным рисунком; поворот рисунка сохранен.

Решение

Т.В.Мигаль,Е.К.Тюхтикова.

Решение

Сначала отождествим объекты на фото. Внизу кадра находится Международная космическая станция, её можно легко опознать по характерной форме солнечных батарей. В верхней части кадра находится некоторый объект сферической формы в малой фазе. По фазе объекта можно сразу определить, что это не внешний объект Солнечной Системы, и уж тем более не объект за её пределами. Также можно понять, откуда сделано фото: если мы предположим, что сделано оно было не с поверхности Земли, а на подлете к МКС, и отождествим сферический объект как Луну, то получим характерный размер МКС $15-20'$ , что соответствует расстоянию до станции в $15-20$ км. При таком расстоянии мы бы не получили настолько размытое и некачественное фото станции, а, значит, расстояние до неё существенно больше, а объект на фото не является Луной. В итоге получаем, что фото было снято с поверхности Земли. Проведем оценку его углового размера, сравнивая с возможными угловыми размерами МКС. Для этого сначала поймем, под каким углом к нам видна станция. Заметим, что прямые углы солнечных батарей на фото остались прямыми, а значит, сжатие из-за поворота станции относительно картинной плоскости, если оно и есть, происходит только по ширине или длине. Измерим их соотношение на фото. Получили 9.0 усл.ед.в длину и 6.5 усл.ед.в ширину.

\frac{6.5}{9}=0.72>\frac{73}{109}=0.67.

Получается, что на фото соотношение ширины и длины немного больше, чем в реальности, то есть станция слегка повернута так, что ее кажущаяся длина чуть меньше реальной, а ширина практически не искажена. Значит, именно значением ширины станции мы будем пользоваться при дальнейших расчетах. Также мы будем использовать значение для длины МКС, если бы она располагалась в картинной плоскости. Оно равно $9.0\cdot0.72/0.67=9.7$ усл.ед.

Определим возможные угловые размеры МКС при наблюдении с поверхности Земли:

\alpha_{max}=\frac{l}{H}=\frac{109}{400\cdot10^3}=56''

—максимальный угловой размер МКС, в зените.

\alpha_{min}=\frac{l}{\sqrt{(R_\oplus+H)^2-R_\oplus^2}}=\frac{109}{2290}=10''

—минимальный угловой размер, у горизонта.

При этом диаметр верхнего объекта равен 14.2 усл.ед. Таким образом, его угловой размер составляет от $15''$ (в случае минимального размера МКС) до $80''$ (при максимальном размере МКС). Значит, нам не подходят ни Луна (угловой размер около $0.5^\circ$ , ни Меркурий (максимальный угловой размер $11''$ ). Таким образом, остаётся единственный возможный кандидат на объект сверху на фото—Венера.

Теперь мы можем более точно определить угловой масштаб фотографии, для этого определим фазу Венеры. Измерим диаметр планеты и хорду, проведенную по касательной к внутренней части серпа в самом толстом его месте. Получим, что длина хорды равна 0.79 радиуса Венеры. Значит, по теореме Пифагора можно найти фазу:

\Phi=\frac{1}{2R}\left(R-\sqrt{R^2-(0.79R/2)^2}\right)=0.041.

Полный оригинальный серп с нанесенными красными линиями и обозначениями.

Тогда фаза равна 0.041, а фазовый угол— $156.6^\circ$ . Острые углы при Солнце $(\gamma)$ и Земле $(\beta)$ можно найти из системы уравнений:

\gamma+\beta=180^\circ-156.6^\circ=23.4^\circ,

Точная область исходной формулы, включая собственный напечатанный знак Венеры♀. Никаких созданных или восстановленных пикселей.

Отсюда получаем $\beta=16.8^\circ$ —угловое расстояние от Венеры до Солнца. $\gamma=6.6^\circ$ .

Вычислим более точное расстояние до Венеры:

r=\sqrt{a_\oplus^2+a_{venus}^2-2a_\oplus a_{venus}\cos\gamma}=0.30\text{а.е.}.

Угловой размер Венеры:

Получаем масштаб снимка:1 усл.ед.= $3.9''$ . На расстоянии МКС 109 метров видны под углом $3.9\cdot9.7=37.9''$ . А расстояние от наблюдателя до МКС равно $r_1=590$ км.

В треугольнике «МКС—наблюдатель—центр Земли» запишем теорему косинусов и выразим угол при наблюдателе:

Полная исходная схема Земли, Венеры и Солнца с углами gamma и beta. — Рис.2: Взаимное расположение планет и Солнца

Полная исходная схема Земли и МКС с радиусами, линией r1 и углом 90+hмкс. Повтор надписи Земля сохранен. — Рис.3: Расположение МКС относительно точки проведения съемки

Высота Солнца

Ранее мы уже получили угловое расстояние между Венерой и Солнцем, оно равно $16.8^\circ$ . Расстояние между Венерой и МКС составляет порядка $5'$ и с нашей точностью пренебрежимо мало. Измерим угол в картинной плоскости с центром в Венере между направлениями на зенит и на Солнце. Сделать это можно, проведя вертикальную прямую (в направлении зенита, так как по условию горизонтальные линии—альмукантараты) и перпендикуляр к линии, соединяющей концы серпа Венеры (направление на Солнце) и измерив угол между этими линиями. Этот угол получился равным $\theta=77^\circ$ .

Для треугольника «Венера—Солнце—зенит» запишем сферическую теорему косинусов и найдем таким образом высоту Солнца:

\cos(90^\circ-h_\odot)=\cos(90^\circ-h_{\text{мкс}})\cos\beta+\sin(90^\circ-h_{\text{мкс}})\sin\beta\cos\theta,

h_\odot=\arcsin(\sin h_{\text{мкс}}\cdot\cos\beta+\cos h_{\text{мкс}}\sin\beta\cos\theta)=42.4^\circ\sim42^\circ.

Если же мы считаем, что фото перевернуто и горизонт находится сверху, то теорема косинусов примет следующий вид:

\cos(90^\circ-h_\odot)=\cos(90^\circ-h_{\text{мкс}})\cos\beta+\sin(90^\circ-h_{\text{мкс}})\sin\beta\cos(180^\circ-\theta),

h_\odot=\arcsin(\sin h_{\text{мкс}}\cdot\cos\beta+\cos h_{\text{мкс}}\sin\beta\cos(180^\circ-\theta))=35.2^\circ\sim35^\circ.

Итоговый ответ: высота Солнца составляет $42^\circ$ или $35^\circ$ в зависимости от ориентации картинки.

Оригинал в Архива: vos-2026-final-prob-P-10.pdf · официални решения: vos-2026-final-sol-D-10.pdf